Rama corta $\sqrt{z^2+1}$

Question

Considere la función compleja $$f(z) = \sqrt{z^2+1}.$$

Obviamente, $f(z)$ tiene puntos de ramificación en $z = \pm i$. Una manera de definir una rama de corte sería excluir los puntos sobre el eje imaginario con $|z| \geq 1$. Otra forma de definir una rama de corte parece ser el de excluir a la (finito) de la región del eje imaginario con $|z| \leq 1$.

Si definimos $f(z)$ $$f(z) = e^{1/2\log(z^2+1)},$$ la primera rama de corte se puede llegar tomando la rama principal de $\log(z)$ con la rama cortada $(-\infty,0]$. Al principio pensé que la segunda rama de corte podría ser llega tomando la rama cortada $[0,\infty)$$\log(z)$. De hecho, esto excluiría imaginario $z$$|z| \leq 1$, pero, por supuesto, también se excluyen todos los verdaderos $z$, lo que constituye una rama diferente de corte para $f(z)$.

Creo que sería posible llegar a la segunda rama de corte para $f(z)$ forma diferente, mediante la definición de $$f(z) = \sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2)/2}, $$ donde $r_1 = |z-i|, r_2 = |z+i|$, $\theta_1 = \arg(z-i), \theta_2 = \arg(z+i).$ sin Embargo, realmente no me gusta este enfoque, ya que creo $$f(z) = e^{1/2\log(z^2+1)}$$ es la forma correcta de definir $f$.

Cualquier comentario sobre esto? Hay una rama de corte para $\log(z)$, lo que da a la sucursal correspondiente de corte para $f$?

Answer 1

Considere la función $$ h(z) = \exp\left\{ \int_{i}^{z}\frac{w}{1+w^2}dw \right\} = \exp\left\{\frac{1}{2}\int_{i}^{z}\frac{1}{w+i}+\frac{1}{w} {- i}\,dw\right\}, $$ donde la integral de $i$ $z$es tomado a lo largo de cualquier camino simple de $i$ $z$en el abierto de la región de $\Omega$ obtiene restando de $C$ el segmento cerrado de$-i$$i$. No importa el camino que se elige de $i$ $z$debido a que la diferencia del exponente de las integrales a lo largo de dos caminos diferentes $\gamma_1$, $\gamma_2$ será un camino cerrado integral con el mismo bobinado alrededor de $i$ como alrededor de $-i$, lo que resulta en una diferencia de integrales que es un múltiplo entero de $2\pi i$. Por lo tanto $h(z)$ no depende del camino elegido de$i$$z$, siempre y cuando no se cruce con el segmento de$-i$$i$. Por lo $h$ es holomorphic en $\mathbb{C}\setminus [-i,i]$, y $$ h'(z) = \exp\left\{\int_{i}^{z}\frac{w}{1+w^2}dw\right\}\frac{z}{1+z^2}=h(z)\frac{z}{1+z^2} \\ \implica \left(\frac{h(z)^2}{1+z^2}\right)'=0. $$ Después de la multiplicación por una constante apropiada, el resultado de la función $g(z)=Ch(z)$ va a satisfacer $g(z)^2=1+z^2$ todas partes en $\mathbb{C}\setminus[-i,i]$.

Así que incluso pensé que no hay un logaritmo para$1+z^2$$\mathbb{C}\setminus[-i,i]$, todo funciona porque hay un "modulo del logaritmo múltiplos enteros de $2\pi i$." Voy a dejar de hacer sentido de esa frase en cualquier forma que usted desee.

No hay ningún problema de definición de una real holomorphic logaritmo en $\mathbb{C}\setminus\{ (\infty,-i]\cup[i,\infty)\}$ porque esto es un simple conectado región donde $w/(1+w^2)$ es holomorphic, lo que da una antiderivada de $w/(1+w^2)$ en esta región, y por lo tanto un holomorphic función de raíz cuadrada $\sqrt{1+w^2}$ en esta región.