¿Algo detrás de la sustitución $h^0=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\rho^2_{t^{-1}}h\rho^2_{t}$?

Question

Soy bastante nuevo a la teoría de la representación y yo la lectura de Serre de la Representación Lineal de Grupos Finitos. En el primer y segundo capítulo, uno de los trucos que utiliza muy a menudo es la sustitución \begin{equation} h^0=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\rho^2_{t^{-1}}h\rho^1_{t}, \end{equation} donde $\rho^j:G\to GL(V^j)$ son representaciones en $V^j$, $h:V_1\to V_2$ es lineal, y $|G|$ es el orden del grupo. Por ejemplo, él usa este cuando demostrando cada representación es la suma directa de representaciones irreducibles, y al probar Schur del lexema.

Me pregunto si hay algo detrás de este poderoso truco. A mí me parece como un método para medir la torsión/ de la tensión entre las dos representaciones, y, a continuación, un promedio de más de $G$, pero no estoy seguro.

Gracias!

Answer 1

Dado un irreducible representaciones $\rho_1$ y $\rho_2$ $G$, podemos definir la $G$-intertwiner $$P : V_1 \mapsto V_2, \qquad v \mapsto \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} \rho_1(g^{-1}) h ( \rho_2(g) v)$ $ en el subespacio invariante máximo de $h(V_1)$, cuyas componentes irreducibles equivalen a irreducible subrepresentación de $V_2$. Intertwiner son la herramienta canónica para comparar $G$-Rep.