Demostrar la desigualdad general media aritmética-geométrica

Question

Demostrar que la desigualdad general media aritmética-geométrica \begin{equation*} (a_{1}a_{2}...a_{n})^\frac{1}{n}\leq\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \end{equation*} es válido para $a_{i}$ números reales positivos.

Sigo quedándome a medio camino. Esto es material de repaso para mí (que siento que debería conseguir fácilmente, pero no es el caso por desgracia).

Answer 1

Wikipedia tiene la solución a este problema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Proof_by_induction_using_basic_calculus

Si quieres intentarlo de nuevo antes de ver la solución, aquí tienes una pista:

Intentar una demostración por inducción (como de costumbre, consistente en el caso base, la hipótesis, el paso de inducción y luego una conclusión). El caso base es $n=1$ . Para la hipótesis, elija algún número real no negativo $n$ . Para el paso de inducción, reordena la desigualdad y escribe \begin{equation*} \frac{a_1+...+a_n+a_{n-1}}{n+1}-(a_1...a_na_{n-1})^{\frac{1}{n+1}}\geq 0. \end{equation*} Si se considera la cantidad de la izquierda como una función $f$ entonces el problema se reduce a analizar los puntos críticos de $f$ utilizando herramientas del cálculo. ¿Esto está bien? Dijiste que te habías atascado a mitad de camino, así que, si quieres, puedo explicártelo con más detalle.

Answer 2

He aquí un enfoque que puede funcionar o no:

Diferencial parcial del lado izquierdo wrt $a_k$ :

$$\frac{(a_k)^{-(n-1)/n}}{n} \prod_{i \neq k}(a_i)^{1/n}$$

y la derecha:

$\frac{1}{n}$ ahora uno podría tratar de demostrar que esto es más grande que lo otro.