Probabilidad conjunta de una puntuación mínima y máxima tras $n$ tiradas de dados

Question

Se lanza un dado imparcial $n$ veces; que $M$ y $m$ denotan los puntos máximos y mínimos obtenidos respectivamente. Encontrar $P\left( m=2, M=5 \right)$ . (Sugerencia: comience con $P\left (m\geq2, M\leq 5 \right)$ .)

La pregunta es de la teoría elemental de la probabilidad (Kai Lai Chung)

Este es mi proceso de pensamiento:

El mínimo $m$ y el máximo $M$ puntos obtenidos en $n$ Los lanzamientos son eventos independientes. Así que:

$$ P(m\geq2, M\leq5) = P(m \geq 2)P(M\leq5)$$ $$ P(M\leq5) = \left(\frac{5}{6}\right)^n $$ $$ P(m\geq2) = 1-\left(\frac{4}{6}\right)^n $$ $$P(m\geq2, M\leq5) = \left(\frac{5}{6}\right)^n - \left(\frac{5}{9}\right)^n$$

en las condiciones anteriores, $P(m=2, M=5)$ es sólo $\frac{1}{6}$ en todas las combinaciones. Así que:

$$ P(m=2, M=5) = \left(\frac{5}{6}\right)^n - \frac{\left(\frac{5}{9}\right)^n}{6} $$

Pero la respuesta es $\left(\frac{4}{6}\right)^n - 2\left(\frac{3}{6}\right)^n + \left(\frac{2}{6}\right)^n$ .

¿Puede alguien ayudarme a saber en qué me he equivocado?

Answer 1

Voy a publicar una "respuesta", compuesta principalmente por las ideas de wikichung. Tiramos independientemente el dado imparcial $n$ veces obteniendo $X_1, \dots, X_n$ con un valor mínimo $m$ y el valor máximo $M$ . ¿Qué es? $P(m=2, M=5)$ ? Usted señaló que

$$ P(2 \leq X_i \leq 5; \forall i) = \prod_{i=1}^n \frac{4}{6} = \left(\frac{4}{6}\right)^n. $$ Ahora bien, ¿cómo se relaciona esto con $P(m=2, M=5)$ ? ¡Son dos grandes! Por ejemplo, estamos contando eventos para los que $m \neq 2$ como por ejemplo $(5, 5, \dots, 5)$ . Sin embargo, si para cada $i$ , $2 \leq X_i \leq 5$ entonces $m \geq 2$ y $M \leq 5$ . Así que hemos determinado que,

$$ P(m \geq 2, M \leq 5) = \frac{4}{6}. $$

Por la misma lógica para cualquier $a \leq b$ :

$$ P(m \geq a, M \leq b) = \frac{b-a+1}{6}. $$

Así que le dejaré la última pregunta. ¿Cómo podemos reescribir $P(m=2, M=5)$ sumando y restando términos de la forma $P(m\geq a , M\leq b)?$ Aquí es donde necesitará la inclusión/exclusión.

editar - Información adicional

Definir $S(m,M) = |\{$ secuencias con min $=m$ y max $=M\}|$ y $T(m,M) = |\{$ secuencias con min $\geq m$ y max $\leq M\}|$ . Entonces tenemos:

$$ S(2,5) = T(2,5) - T(3,5) - t(2,4) + ?. $$

Hay algunas secuencias contadas por $T(2,5)$ que no son contabilizados por $S(2,5)$ pero que fueron doblemente deshacer con los dos términos negativos. ¿Qué son?