¿Cuáles son los ejemplos de inesperado algebraica de los números de alto grado se produjo en algunos problemas de matemáticas?

Question

Recientemente pregunté a una pregunta acerca de una posible trascendencia del número de $\Gamma\left(\frac{1}{5}\right)\Gamma\left(\frac{4}{15}\right)/\left(\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\right)$, lo que, para mi gran sorpresa, resultó ser un algebraica de números, pero no algo decente algebraica de números como $\left(\sqrt{5}-1\right)/2$, pero enorme, con la mínima polinomio de grado 120 y con un coeficiente superior a $10^{15}$.

Entonces, mi pregunta: ¿hay otros ejemplos interesantes de números ocurrió en algunos problemas matemáticos que se esperaba que las probabilidades de ser trascendental, pero después inesperadamente se han demostrado para ser algebraicas con una enorme mínima polinomio.

Answer 1

No sé si Conway constante es exactamente lo que usted está buscando, como no estoy seguro de que sería de esperar en un principio para ser trascendental o no. Así, tal vez es mi mala intuición, pero ciertamente estaba sorprendido al enterarse de que se trata de un número algebraico con un mínimo de polinomio de grado 71.

Answer 2

A veces usted puede conseguir inesperado algebraica de los valores mientras se trabaja con funciones hipergeométricas. Por ejemplo, el siguiente valor absoluto de un complejo de valores de $_4F_3$ función de: $$\left|\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};\sqrt{\phi }\right)\right|,$$ donde $\phi$ es la proporción áurea, es en realidad un algebraica de números, con la mínima polinomio de grado 80 y con un coeficiente superior a $10^{55}$: $$340282366920938463463374607431768211456 x^{80}+152118072027387528179604384645120000000000 x^{72}+202824096036516704239472512860160000000000 x^{70}-45334718235548594051481600000000000000000000 x^{62}+15111572745182864683827200000000000000000000 x^{60}-5629499534213120000000000000000000000000000000 x^{56}-24769797950537728000000000000000000000000000000 x^{54}-33776997205278720000000000000000000000000000000 x^{52}-9007199254740992000000000000000000000000000000 x^{50}+1006632960000000000000000000000000000000000000000 x^{46}+3523215360000000000000000000000000000000000000000 x^{44}+74161139200000000000000000000000000000000000000000 x^{40}+300000000000000000000000000000000000000000000000000 x^{38}+675000000000000000000000000000000000000000000000000 x^{36}+1050000000000000000000000000000000000000000000000000 x^{34}-2975290298461914062500000000000000000000000000000000 x^{32}-14701161193847656250000000000000000000000000000000000 x^{30}-37252902984619140625000000000000000000000000000000000 x^{28}-74505805969238281250000000000000000000000000000000000 x^{26}-59604644775390625000000000000000000000000000000000000 x^{24}-22351741790771484375000000000000000000000000000000000 x^{22}+7450580596923828125000000000000000000000000000000000 x^{20}-555111512312578270211815834045410156250000000000000000 x^{16}-1110223024625156540423631668090820312500000000000000000 x^{14}-1665334536937734810635447502136230468750000000000000000 x^{12}-2220446049250313080847263336181640625000000000000000000 x^{10}+82718061255302767487140869206996285356581211090087890625$$

No estoy seguro de si es expresable en los radicales.

Answer 3

Algunos números fueron encontrados recientemente algebraicas mediante el aprendizaje permanente y la PSLQ algoritmos : algoritmos de retorno directamente el entero de los coeficientes de un polinomio de partida con el valor numérico siempre con la suficiente precisión. Se implementan en muchos de álgebra computacional de software (por ejemplo lindep y algdep de pari/gp).

Broadhurst encontró que el tercer y cuarto puntos de bifurcación (B3 y B4) de la logística mapa se algebraicas de grado $12$ $240$ (en la página 3 de este documento y 5 de este uno y este archivo ps B4).

Ver también este MO hilo de "¿cuáles Son Algunas de origen Natural de Alto Grado de los Polinomios?'.