Límite Superior

Question

Que $x,y,z\geq 0$ y $x+y+z\leq\frac12$. Cuál es el máximo de %#% $ #%

Cuando $$S=2(x+y+z)-3(xy+yz+zx)+4xyz?$ $x=y=z\leq\frac{1}{6}$, que es una función creciente en $S=6x-9x^2+4x^3$, así que el máximo se alcanza cuando $[0,\frac16]$, $x=y=z=\frac16$.

Cuando $83/108$, tenemos $x=\frac12, y=z=0$. ¿Esto es lo máximo?

No está claro si podemos suponer sin pérdida de generalidad que $S=1$, ya que el efecto del aumento de una variable en $x+y+z=\frac12$ es confuso.

Answer 1

Considere los siguientes conjuntos:

$A$ todos los triples $(x,y,z)$ donde $x,y,z\neq 0$.

$B_z$ todos los triples que $x,y\neq 0$$z=0$.

$B_x$ todos los triples que $y,z\neq 0$$x=0$.

$B_y$ todos los triples que $x,z\neq 0$$y=0$.

$C_z$ todos los triples que $x,y = 0$$z\neq 0$.

$C_x$ todos los triples que $y,z = 0$$x\neq0$.

$C_y$ todos los triples que $x,z = 0$$y\neq0$.

Es obvio que $A\cup (\cup B) \cup (\cup C)$ son todos los posibles triples de $(x,y,z)$

Deje $f(x,y,z)=2(x+y+z)-3(xy+yz+zx)+4xyz$

Podemos demostrar que para todos los triples $x, y, z>0$

$f(x+z,y,0)-f(x,y,z)=2(x+y+z)-3(xy+zy)-2(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-4xyz$

$=3zx-4xyz=zx(3-4y)>0$

Por lo tanto para cualquier $x,y,z\neq 0$ podemos encontrar un triple a saber,$x+z,y,0$, que se traducirá en un mayor $S$.

De ahí el triple que maximizar $S$ no puede ser en conjunto $A$.

Ahora vamos a $g(x,y)=2(x+y)-3xy$.

Podemos demostrar que para todas las tuplas $x,y>0$

$g(x+y,0)-g(x,y)=2(x+y)-2(x+y)+3xy>0$

Por lo tanto, cualquier tupla $x,y\neq0$ correspondiente al $x+y,0$, que se traducirá en un mayor $S$.

De ahí el triple que maximiza $S$ no puede ser en conjunto $B_z$. De igual manera nos puede mostrar que no puede ser en conjunto $B_x,B_y$.

Por lo que debe ser en conjunto $C_x$ o $C_y$ o $C_z$.

WLOG se supone que es en $C_z$$x=y=0$$S=2z\leq 1$.

Para mostrar este hecho es el máximo, suponga que existe otra triple $(x,y,z)$, que se traducirá en un mayor $S>1$. Mediante la aplicación de nuestro proceso, podemos encontrar aún más el triple de $(0,0,x+y+z)$ en el conjunto de $C_z$ y esto significaría $2(x+y+z)>1$ contradicción.