¿Existe un campo que tiene infinitamente muchos subcampos? ¿Existe una fuente enorme de esos campos?
No sé cómo empezar.
¿Existe un campo que tiene infinitamente muchos subcampos? ¿Existe una fuente enorme de esos campos?
No sé cómo empezar.
Recordar la noción de primer subcampo $K_0$ de un campo de $K$: es el menor subcuerpo de $K$. Si $1+\ldots + 1 = 0$ algunos $n$, el menos $n$ es un número primo $p$ y el primer subcampo es $\mathbb{F}_p$. De lo contrario, el primer subcampo es el de los números racionales $\mathbb{Q}$. Ahora, aquí está la respuesta completa a su pregunta:
Un campo de $K$ tiene un número finito de subcampos iff $K/K_0$ ha finito grado.
Prueba: $K/K_0$ ha finito de grado, a continuación, $K$ es un campo finito o un campo de número. El primer caso es obvio; el segundo caso se puede hacer por ejemplo, mediante la sustitución de $K$ con su Galois cierre de más de $\mathbb{Q}$ (mostrando que un mayor campo tiene sólo un número finito de subcampos será suficiente!) y el uso de la Galois de la correspondencia.
Ahora supongamos $K/K_0$ tiene un grado infinito.
Caso 1: Si $K/K_0$ es algebraica, a continuación, elija $x_1 \in K \setminus K_0$. A continuación, $K_0(x_1)$ ha finito de grado por encima del $K_0$, por lo que es adecuado en $K_1$. Repitiendo este argumento genera una infinita ascendente de la cadena de finito grado subcampos de $K$.
Caso 2: Si $K/K_0$ no es algebraico, vamos a $t \in K$ ser trascendental $K_0$. A continuación, $\{K_0(t^n)\}_{n=1}^{\infty}$ son infinitamente muchos de los subcampos de $K$.
Último momento: Vamos a $L/K$ ser de cualquier extensión de campo, y considerar el entramado $\operatorname{Sub}(L/K)$ de subextensions, es decir, los campos de $F$$K \subset F \subset L$. A continuación, el OP original de la pregunta se refiere a cuando un campo $K$, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es infinito, y mi respuesta caracteriza cuando esto sucede. Pero más allá de la reflexión, en cada uno de los Casos 1 y 2 estoy mostrando el fracaso de otro más débil de la finitud de la propiedad. Es decir, si $K/K_0$ es un grado infinito algebraicas, a continuación, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ contiene un infinito ascendente de la cadena de subcampos, por lo que no es Noetherian (esto es sólo la definición de un Noetherian parcialmente conjunto ordenado: no contiene infinitos ascendente cadenas). Si $K/K_0$ es trascendental, a continuación, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ contiene un infinito descendente de la cadena-si $t$ es trascendental $K_0$, tome $F_n = K_0(t^{2^n})$, por lo que no es Artinian (de nuevo, por definición).
De hecho, esta parte de la respuesta no utiliza ningún tipo de propiedades especiales de $K_0$. De hecho, se muestra que si $L/K$ es un grado infinito algebraicas, a continuación, $\operatorname{Sub}(L/K)$ no es Noetherian, y si $L/K$ es trascendental, a continuación, $\operatorname{Sub}(L/K)$ no es Artinian. (A la inversa funciona al $K_0$ es perfecto, pero no en general; véase Jyrki la respuesta de mis comentarios sobre el mismo a continuación).
Se puede comprobar que no funciona de la otra manera alrededor.
Reclamo: Vamos a $K_0$ ser cualquier primer campo (es decir, $\mathbb{F}_p$ o $\mathbb{Q}$). Entonces:
a) Hay un infinito algebraica de extensión de campo $K/K_0$ tal que $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es Artinian.
b) No es un trascendental extensión de campo $K/K_0$ tal que $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es Noetherian.
Os dejo las verificaciones a usted (si se puede hacer), con las siguientes indicaciones: a) tomar una $\mathbb{Z}_p$-extensión. b) Uso Luroth del Teorema.
Tal vez deberíamos pedir caracterizaciones de campo extensiones $L/K$ tal que $\operatorname{Sub}(L/K)$ es Noetherian, o Artinian?
Tenga en cuenta que Jyrki la respuesta también encaja en este marco: muestra el $L/K$ tener finito grado de necesidad no implica que $\operatorname{Sub}(L/K)$ es finito (aunque evidentemente se trata de Noetherian y Artinian, es decir, de longitud finita). Como me gustaría mencionar, tengo un Doctorado en aritmética geometría / teoría de los números antes de que me enteré de este ejemplo: hasta no hace mucho yo estaba seguro de que básicos de la teoría de campo mostraron que tales ejemplos no podría existir.
Lo números complejos $\mathbb{C}$ es un ejemplo de un campo. Tiene infinitamente muchos subcampos, puesto que puede adjunto familia de números irracionales (escoger los favoritos!) $\mathbb{Q}$. Mis Favoritos serían raíces de $\sqrt[n]{2}$ cada $n\in\mathbb{N}$. Así que en este caso, la familia infinita de subcampos sería $\{\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})\}_{n=1}^{\infty}$
La adición de un ejemplo de la infinidad de intermedios campos de una extensión finita $L/K$.
Vamos a ser $F$ ser una expresión algebraica cierre de $\mathbb{F}_2$, lo $F$ es infinito. Deje $x$ $y$ ser algebraicamente independiente trascendental de elementos sobre los $F$. Deje $L=F(x,y)$$K=F(x^2,y^2)$. Se ve fácilmente que $[L:K]=4$. Una base para esta extensión se compone de $\{1,x,y,xy\}$. Deje $\alpha\in F$ ser arbitraria. Considerar el espacio intermedio se $L_\alpha$ abarcaron $K$$\{1,x+\alpha y\}$. Tenemos $$ L_\alpha\cap L_{\alpha}=K $$ siempre que $\alpha\neq\alpha'$ (álgebra lineal), por lo que los espacios de $L_\alpha$ son distintos. La clave está en que $L_\alpha$ es también un subcampo. Esto es debido a que $$ (x+\alpha y)^2=x^2+2\alpha xy+\alpha^2y^2=x^2+\alpha^2y^2\en K. $$
Esto no contradice el argumento de Pete L. Clark respuesta, porque la extensión de $L/K$ es puramente inseparable, y por lo tanto no puede ser contenida en una extensión de Galois. Y esa fue la clave de su argumento en el caso de los campos de número.
Deje $K$ ser cualquier campo y deje $X$ ser cualquier conjunto infinito. Para cada opción de subconjunto $Y\subseteq X$, podemos obtener diferentes subcampo $K(Y)\subseteq K(X)$.
Deje $K$ ser cualquier campo y deje $t$ ser indeterminado. Para cada opción de entero $n\geq 1$, podemos obtener diferentes subcampo $K(t^n)\subseteq K(t)$.
En caso de que usted no está familiarizado con él, aquí está la definición de $K(X)$: es el campo de fracciones de $K[X]$, el anillo de polinomios en la indeterminates $X$$K$. Es decir, los elementos de $K[X]$ son polinomios, donde los coeficientes son elementos de $K$, y las "variables" o "indeterminates" son los elementos de $X$. Así, por ejemplo, si $K=\mathbb{Q}$$X=\{s,t\}$, $K[X]=\mathbb{Q}[s,t]$ se compone de polinomios tales como $\frac{1}{2}+5s+t^2+3st$, e $K(X)=\mathbb{Q}(s,t)$ se compone de funciones racionales, tales como $$\frac{\frac{1}{2}+5s+t^2+3st}{7-3s^3+4st^2}.$$
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