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¿Existe un campo que tiene infinitamente muchos subcampos?

¿Existe un campo que tiene infinitamente muchos subcampos? ¿Existe una fuente enorme de esos campos?

No sé cómo empezar.

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Bryan Roth Puntos 3592

Recordar la noción de primer subcampo $K_0$ de un campo de $K$: es el menor subcuerpo de $K$. Si $1+\ldots + 1 = 0$ algunos $n$, el menos $n$ es un número primo $p$ y el primer subcampo es $\mathbb{F}_p$. De lo contrario, el primer subcampo es el de los números racionales $\mathbb{Q}$. Ahora, aquí está la respuesta completa a su pregunta:

Un campo de $K$ tiene un número finito de subcampos iff $K/K_0$ ha finito grado.

Prueba: $K/K_0$ ha finito de grado, a continuación, $K$ es un campo finito o un campo de número. El primer caso es obvio; el segundo caso se puede hacer por ejemplo, mediante la sustitución de $K$ con su Galois cierre de más de $\mathbb{Q}$ (mostrando que un mayor campo tiene sólo un número finito de subcampos será suficiente!) y el uso de la Galois de la correspondencia.

Ahora supongamos $K/K_0$ tiene un grado infinito.

Caso 1: Si $K/K_0$ es algebraica, a continuación, elija $x_1 \in K \setminus K_0$. A continuación, $K_0(x_1)$ ha finito de grado por encima del $K_0$, por lo que es adecuado en $K_1$. Repitiendo este argumento genera una infinita ascendente de la cadena de finito grado subcampos de $K$.

Caso 2: Si $K/K_0$ no es algebraico, vamos a $t \in K$ ser trascendental $K_0$. A continuación, $\{K_0(t^n)\}_{n=1}^{\infty}$ son infinitamente muchos de los subcampos de $K$.

Último momento: Vamos a $L/K$ ser de cualquier extensión de campo, y considerar el entramado $\operatorname{Sub}(L/K)$ de subextensions, es decir, los campos de $F$$K \subset F \subset L$. A continuación, el OP original de la pregunta se refiere a cuando un campo $K$, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es infinito, y mi respuesta caracteriza cuando esto sucede. Pero más allá de la reflexión, en cada uno de los Casos 1 y 2 estoy mostrando el fracaso de otro más débil de la finitud de la propiedad. Es decir, si $K/K_0$ es un grado infinito algebraicas, a continuación, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ contiene un infinito ascendente de la cadena de subcampos, por lo que no es Noetherian (esto es sólo la definición de un Noetherian parcialmente conjunto ordenado: no contiene infinitos ascendente cadenas). Si $K/K_0$ es trascendental, a continuación, $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ contiene un infinito descendente de la cadena-si $t$ es trascendental $K_0$, tome $F_n = K_0(t^{2^n})$, por lo que no es Artinian (de nuevo, por definición).

De hecho, esta parte de la respuesta no utiliza ningún tipo de propiedades especiales de $K_0$. De hecho, se muestra que si $L/K$ es un grado infinito algebraicas, a continuación, $\operatorname{Sub}(L/K)$ no es Noetherian, y si $L/K$ es trascendental, a continuación, $\operatorname{Sub}(L/K)$ no es Artinian. (A la inversa funciona al $K_0$ es perfecto, pero no en general; véase Jyrki la respuesta de mis comentarios sobre el mismo a continuación).

Se puede comprobar que no funciona de la otra manera alrededor.

Reclamo: Vamos a $K_0$ ser cualquier primer campo (es decir, $\mathbb{F}_p$ o $\mathbb{Q}$). Entonces:
a) Hay un infinito algebraica de extensión de campo $K/K_0$ tal que $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es Artinian.
b) No es un trascendental extensión de campo $K/K_0$ tal que $\operatorname{Sub}(K/K_0)$ es Noetherian.

Os dejo las verificaciones a usted (si se puede hacer), con las siguientes indicaciones: a) tomar una $\mathbb{Z}_p$-extensión. b) Uso Luroth del Teorema.

Tal vez deberíamos pedir caracterizaciones de campo extensiones $L/K$ tal que $\operatorname{Sub}(L/K)$ es Noetherian, o Artinian?

Tenga en cuenta que Jyrki la respuesta también encaja en este marco: muestra el $L/K$ tener finito grado de necesidad no implica que $\operatorname{Sub}(L/K)$ es finito (aunque evidentemente se trata de Noetherian y Artinian, es decir, de longitud finita). Como me gustaría mencionar, tengo un Doctorado en aritmética geometría / teoría de los números antes de que me enteré de este ejemplo: hasta no hace mucho yo estaba seguro de que básicos de la teoría de campo mostraron que tales ejemplos no podría existir.

18voto

Prism Puntos 4541

Lo números complejos $\mathbb{C}$ es un ejemplo de un campo. Tiene infinitamente muchos subcampos, puesto que puede adjunto familia de números irracionales (escoger los favoritos!) $\mathbb{Q}$. Mis Favoritos serían raíces de $\sqrt[n]{2}$ cada $n\in\mathbb{N}$. Así que en este caso, la familia infinita de subcampos sería $\{\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})\}_{n=1}^{\infty}$

12voto

La adición de un ejemplo de la infinidad de intermedios campos de una extensión finita $L/K$.

Vamos a ser $F$ ser una expresión algebraica cierre de $\mathbb{F}_2$, lo $F$ es infinito. Deje $x$ $y$ ser algebraicamente independiente trascendental de elementos sobre los $F$. Deje $L=F(x,y)$$K=F(x^2,y^2)$. Se ve fácilmente que $[L:K]=4$. Una base para esta extensión se compone de $\{1,x,y,xy\}$. Deje $\alpha\in F$ ser arbitraria. Considerar el espacio intermedio se $L_\alpha$ abarcaron $K$$\{1,x+\alpha y\}$. Tenemos $$ L_\alpha\cap L_{\alpha}=K $$ siempre que $\alpha\neq\alpha'$ (álgebra lineal), por lo que los espacios de $L_\alpha$ son distintos. La clave está en que $L_\alpha$ es también un subcampo. Esto es debido a que $$ (x+\alpha y)^2=x^2+2\alpha xy+\alpha^2y^2=x^2+\alpha^2y^2\en K. $$

Esto no contradice el argumento de Pete L. Clark respuesta, porque la extensión de $L/K$ es puramente inseparable, y por lo tanto no puede ser contenida en una extensión de Galois. Y esa fue la clave de su argumento en el caso de los campos de número.

9voto

Xenph Yan Puntos 20883

Deje $K$ ser cualquier campo y deje $X$ ser cualquier conjunto infinito. Para cada opción de subconjunto $Y\subseteq X$, podemos obtener diferentes subcampo $K(Y)\subseteq K(X)$.

Deje $K$ ser cualquier campo y deje $t$ ser indeterminado. Para cada opción de entero $n\geq 1$, podemos obtener diferentes subcampo $K(t^n)\subseteq K(t)$.


En caso de que usted no está familiarizado con él, aquí está la definición de $K(X)$: es el campo de fracciones de $K[X]$, el anillo de polinomios en la indeterminates $X$$K$. Es decir, los elementos de $K[X]$ son polinomios, donde los coeficientes son elementos de $K$, y las "variables" o "indeterminates" son los elementos de $X$. Así, por ejemplo, si $K=\mathbb{Q}$$X=\{s,t\}$, $K[X]=\mathbb{Q}[s,t]$ se compone de polinomios tales como $\frac{1}{2}+5s+t^2+3st$, e $K(X)=\mathbb{Q}(s,t)$ se compone de funciones racionales, tales como $$\frac{\frac{1}{2}+5s+t^2+3st}{7-3s^3+4st^2}.$$

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