$\{f_n\}$ continua que $\inf f_n$ y $\sup f_n$ no son continuos

Question

Encontrar una secuencia de funciones continuas en $[0,1]$, $\{f_n\}$, que $f(x):=\sup\{f_n(x):n\geq 1\}$ $g(x):=\inf\{f_n(x):n\geq 1\}$ está y no continua.

Yo seguí encontrando ejemplos donde uno era discontinua pero el otro era continuo como $f_n(x)=|x|^\frac{1}{n}$ y $f_n(x)=x^n$

Answer 1

Usted puede considerar $f_n(x) = \sin(nx)$. A continuación, puede comprobar que para todos los $n \ge 2$, $f(\frac{\pi}{2n}) = 1$% y $g(\frac{3\pi}{2n}) = -1$ (porque $f_{n}(\frac{\pi}{2n}) = 1$, $f_n(\frac{3\pi}{2n}) = -1$, y claramente $f_k(x)$ siempre entre $-1$y $1$). También tenemos $f(0) = g(0) = 0$. Así que ni unos ni otros $f$ ni $g$ es continua en $0$.

Answer 2

Que $(f_n)_{n\geq 1}$ ser una secuencia de funciones continuas que $f(x) = \sup\{f_n(x) \mid n \geq 1\}$ no es continua, pero es limitado, que es $|f(x)| < M$. Entonces $ g_n =\begin{cases} M + g_{\frac{n}{2}} & \text{ for } 2 | n \\ -M - g_{\frac{n+1}{2}} & \text{ otherwise} \end{casos} $ es una secuencia que busca. Claramente, para impar $n$ tenemos $g_n(x) < 0$ y $g_n(x) > 0$ $n$ incluso. Por esta razón, cualquier $x$, el límite superior es $f(x)+M$ y el límite inferior es $-f(x)-M$, y completa la prueba.

Espero que ayude ;-)

Answer 3

$$ f_n:x\mapsto(1+\mathrm e^{n(x-a)}) ^ {-1}, \qquad a\in(0,1) $$