¿Cuántos de estos son las topologías?

Question

Que $X$ sea un conjunto con elementos de #% de #% %. El conjunto de los subconjuntos del conjunto potencia de $3$ es $X$ elementos. ¿Cuántos de estos son las topologías?

¿Hay un truco para este problema, o es sólo una cosa de trabajo "enchufe y obtienes"?

Answer 1

Sugerencia: una topología sobre un conjunto finito es determinada por la base mínima (que equivale a elegir una abierta mínimo establecido que contiene cada punto).

Answer 2

Creo que es realmente sistemático listado y ensayo y error.

http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_topological_space#3_points

Answer 3

Deje que los elementos sean $a$, $b$, y $c$. Nos encontramos con el número de topologías.

Caso 1.

$\mathcal{T}$ no tiene singleton conjuntos.

1. No podría tener doubleton conjuntos. Así es la topología trivial, por lo que no es $1$ manera de escoger este.
2. Podría haber $1$ doubleton. Hay $3$ maneras de escoger este.
3. Podría tener más de $1$. Pero entonces su intersección sería un singleton, lo cual es imposible.

Caso 2.

$\mathcal{T}$ $1$ singleton conjunto.

1. No podría tener doubleton. Hay $3$ maneras de escoger el singleton.
2. Podría haber $1$ doubleton. Todos estos trabajos, por lo que hay $3 \times 3 = 9$ formas de $(3$ formas de seleccionar solo, $3$ doble$)$.
3. Podría haber $2$ doubletons. Entonces su intersección debe ser el singleton $($desde $X$ $3$ elementos de la intersección de cualquier $2$ elemento del conjunto es un $1$-elemento de una$)$. Así, una vez que se corrige el singleton, tenemos que seleccionar la doubletons que la contiene. Así que hay $3$ formas de seleccionar.
4. Podría tener todos los $3$ doubletons. Pero entonces no tendría más de $1$ singleton, imposible.

Caso 3.

$\mathcal{T}$ $2$ singleton conjuntos. Por lo tanto debe contener su unión, un doubleton.

1. Podría haber $1$ doubleton. Esto funciona, por lo que hay $3$ maneras.
2. Podría haber $2$ doubletons. Esto también funciona. Hay $3$ formas de seleccionar los solteros, $2$ a de selección doble extra. Así que hay $3 \times 2 = 6$ maneras.
3. Podría haber $3$ doubletons. Pero esto es imposible, ya que tendría todas las $3$ los embarazos únicos.

Caso 4.

$\mathcal{T}$ $3$ los embarazos únicos. Esta es la topología discreta, por lo que no es $1$ manera.

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Así que el total es $$1 + 3 + 3 + 9 + 3 + 3 + 6 + 1 = 29 \text{ topologies}.$$