Aproximación de una función armónica del disco de la unidad por polinomios armónicos.

Question

Deje $u$ ser un verdadero valorado armónico de la función en la unidad de disco $D_1(0) \subseteq \mathbb{C}$. Mostrar que existe una secuencia de bienes valorados armónico polinomios que converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a$D_1(0)$$u$.

Ahora, tenga en cuenta los armónicos de la función $u = \ln|z|$ en el conjunto abierto $\Omega = \{ z : 1<|z| < 2\}$. Es posible encontrar una secuencia de armónicos polinomios que convergen uniformemente en compactos de subconjuntos de a$\Omega$$u$?

Me estoy preparando para mi examen de calificación en el análisis complejo y esta pregunta ha surgido. Tengo que admitir que no he avanzado mucho, pero tengo un par de ideas, que yo doy a continuación. Mi esperanza es recibir unas buenas sugerencias y, a continuación, voy a publicar una solución por mi cuenta.

Desde mi análisis complejo supuesto, sé que la convexidad de $D_1(0)$ nos permite definir una armónica conjugada $v$$u$$D_1(0)$. A continuación, $f \equiv u + iv$ es analítica en $D_1(0)$. Entonces tal vez puedo usar un teorema de análisis complejos para producir esta secuencia de armónicos de polinomios?

Para la segunda pregunta, estoy suponiendo que la respuesta es no, probablemente debido al hecho de que no podemos definir una armónica conjugada para $ u = \ln|z|$ en el conjunto de $\Omega$ bajo investigación.

Las sugerencias son muy apreciados.

Answer 1

Para la primera pregunta, a raíz de sus pensamientos, deje $f$ ser holomorphic(es decir, analítica) en $D_1(0)$, de tal manera que ${\rm Re}f=u$, es decir, $u$ es la parte real de la $f$. A continuación, la expansión de Taylor de $f$ $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$$ converge a $f$ uniformemente en compactos de subconjuntos de a $D_1(0)$(y, por tanto, también lo hacen los correspondientes partes real e imaginaria). Para cada $n\ge 0$, vamos $$u_n(z)={\rm Re}\big(\sum_{k=0}^n a_kz^k \big).$$ Desde $u_n$ es la parte real de un (holomorphic) polinomio de $z=x+iy$, $u_n$ es una verdadera valores de armónicos polinomio de $x$$y$. Por otra parte, $u_n$ converge a la parte real de la $f$, sólo $u$, de manera uniforme sobre compactos de subconjuntos de a $D_1(0)$.

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Para la segunda pregunta, se supone que hay una secuencia de bienes valorados armónico polinomios $(u_n)$, de tal manera que converge a $\ln|z|$ uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\Omega$. Tenga en cuenta que $u_n$ es en el hecho de armónicos en $D_2(0)$, así, por el número máximo/mínimo de principio, es fácil ver que $u_n$ converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $D_2(0)$, y dejar que nos indican el límite de $u$. A continuación, utilizando la integral de Poisson de la fórmula o de lo contrario, es fácil ver que $u$ es armónica en $D_2(0)$. Sin embargo, desde la $\ln|z|$ no es armónica en $0$, esto contradice el hecho de que $u=\ln|z|$$\Omega$, de modo tal de $(u_n)$ no existe.