¿La línea proyectiva menos un punto es siempre isomorfa al espacio afín?

Question

Estoy pensando en el siguiente problema: Si tomo un punto general $p \in \mathbb{P}^1$ fuera de la línea proyectiva, es $\mathbb{P}^1 - \{ p \}$ es isomorfo al espacio afín $\mathbb{A}^1$ ?

Lo pregunto porque si $p = [1, 0] \in \mathbb{P}^1$ el mapa $[x, 1] \mapsto x$ da un isomorfismo $\mathbb{P}^1 - \{[1, 0] \} \cong \mathbb{A}^1$ . Supongo que esto debe ser cierto de alguna manera para un punto general $p$ pero no consigo entender el mapa que tengo que definir.

Answer 1

Si se tiene una matriz invertible de 2 por 2 $M$ en $k$ entonces $M$ induce un isomorfismo de $\mathbb P^1$ con ella misma. Si tiene un punto general $[a:b]$ en $\mathbb P^1$ , escriba una matriz que envíe $[a:b]$ a $[1:0]$ para que tengas $\mathbb P^1 - [a:b] \cong \mathbb P^1 - [1:0]$ . Entonces aplica tu isomorfismo anterior.

Por cierto, tu isomorfismo de arriba no es del todo correcto porque no es independiente del representante. Por ejemplo $[2x:2]$ iría a $2x$ no $x$ . Para evitar esto, defina su isomorfismo $\mathbb{P}^1 - \{[1: 0] \} \to \mathbb{A}^1$ enviando $[x:y]$ a $x/y$ .

Answer 2

Sí, la línea proyectiva menos cualquier punto es la línea afín.

Supongo que el campo subyacente es $\mathbb F$ y que estamos definiendo $\mathbb P$ para ser el conjunto de subespacios unidimensionales de $\mathbb F^2$ . La línea afín es sólo el campo $\mathbb A=\mathbb F$ . Hágame saber si sus definiciones son sustancialmente diferentes.

Para cualquier punto $p'\in\mathbb P$ dejar $p$ sea algún punto no nulo de la línea correspondiente en $\mathbb F^2$ y que $q\in\mathbb F^2$ sea algún punto linealmente independiente. Por independencia lineal, el mapa $\mathbb A\rightarrow\mathbb F^2$ por $x\mapsto xp+q$ nunca llega a cero. De hecho, es fácil demostrar que llega a todos los subespacios unidimensionales exactamente una vez, excepto al que pasa por $p$ . Así que da una inyección $\mathbb A\rightarrow \mathbb P$ golpeando todos los puntos excepto $p'$ .

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En dimensiones superiores se obtiene el espacio afín a partir del espacio proyectivo quitando cualquier subespacio de dimensión uno menos:

$$\mathbb P^n-\mathbb P^{n-1}=\mathbb A^n$$

(En particular, los geómetras piensan a veces en el plano proyectivo, $\mathbb P^2$ como el plano habitual junto con la "línea en el infinito":

$$\mathbb P^2=\mathbb A^2+\mathbb P^1)$$

Por supuesto, podemos iterar esto para expresar cualquier espacio proyectivo como una unión de espacios afines:

$$\mathbb P^n=\mathbb A^n + \mathbb A^{n-1} + \dots + \mathbb A^0$$