Número de $5$ dígitos los números que son divisibles por $11$ y cuyos dígitos suman $43$

Question

Enunciado Del Problema:-

Considerar la colección de todos los $5$-dígitos de números tales que la suma de los dígitos de cada número es $43$. Un número es seleccionado al azar de la colección. Encontrar la probabilidad de que el número es divisible por $11$.

Mi Solución:-

Vamos a los números de cinco dígitos ser representado por $x_1x_2x_3x_4x_5$.

Como los dígitos de estos números se debe agregar a $43$, tenemos

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=43\tag{where $1\le x_i\le9$, $x_i\in\mathbb{N}$}$$

Así, el número de dichos números es igual al coeficiente de $x^{43}$ $\left(\dfrac{1-x^{10}}{1-x}\right)^5=15$

Como este es un susceptibles de listarse cantidad de números, por lo que le acaba de lista de ellos

$$99997\\ 99979\\ 99799\\ 97999\\ 79999\\ 99988\\ 99889\\ 98899\\ 88999\\ 99898\\ 98989\\ 89899\\ 98998\\ 89989\\ 89998$$

Su fácil distinguir los números divisibles por 11 que se $97999,\; 99979,\; 98989$

Así, la probabilidad viene a ser $\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$

---

El número de números en esta lista resultó ser pequeño por lo tanto solo el listado de los cuales resultó ser lo suficientemente bueno para la búsqueda de los números divisibles por $11$, pero ¿y si la suma de los dígitos del número que resulta ser tal que el número de números que satisface la condición resulta ser demasiado grande. En ese caso, ¿cómo se supone que voy a encontrar el número de números que son divisibles por $11$ sin la ayuda de una computadora, pero sólo con lápiz y papel.

Answer 1

Como nota, la exigencia de una suma de dígitos de $43$ restringe las posibles dígitos opciones muy agudamente.

En general los números divisibles por $11$ presentan alternancia de sumas de dígitos (por ejemplo. la adición de $a$s y $b$s de $abababa$) que difieren en un múltiplo de $11$ (que podría ser cero, si las sumas son iguales). Esto es debido a los poderes de $10$ alternando entre el$-1$$1 \bmod 11$.

En este caso, dado que el total de la suma de dígitos es impar, debemos tener la alternancia de las sumas que se diferencian por $11$ $16$ $27$ para los de dos y tres dígitos sumas respectivamente. Claramente esto nos da algo de la forma $9\;\square\;9\;\square\;9$ y las opciones para la intervención de los dígitos de la adición de a $16$ $(7,9),(8,8),(9,7)$ como se encontró.

---

Por petición de comentarios:

Si la suma de dígitos se $36$, todas las demás condiciones sin cambios, tendríamos que tener el dígito sumas iguales $\to (18,18)$ (una diferencia de $22 \to (29,7)$ no es factible). A continuación, sólo hay una opción de dos dígitos en su conjunto $(9,9)$ y podemos encontrar el número de divisiones en las tres dígitos establecidos por una pequeña inclusión-exclusión a la partición de la $18$ en tres válido dígitos. Primero hay dos opciones, que incluyen un cero, $(99099,99990)$ después de la cual podemos tomar las particiones como ser distinto de cero. Luego, sin restricción en la parte superior del tamaño de la partición, las opciones serían $\binom {17}2$, y la eliminación de los casos con un dígito mayor que $9$ reduce el este por $3\cdot \binom 82$, dando $2+136-84=54$ opciones.

Answer 2

¿y si la suma de los dígitos del número que resulta ser tal que el número de números que satisface la condición resulta ser demasiado grande. En ese caso, ¿cómo se supone que voy a encontrar el número de números que son divisibles por $11$ sin la ayuda de una computadora, pero sólo con lápiz y papel.

Consideremos la colección de todos los $5$-dígitos de números tales que la suma de los dígitos de cada número es $S$.

Sabemos que $$\text{$\overline{x_1x_2x_3x_4x_5}$ is divisible by $11\iff x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=-11,0,11,22$}$$ desde $-17=1-9+0-9+0\le x_1-x_2+x_3-x_4+x_5\le 9-0+9-0+9=27$.

• Si $S$ es impar, entonces queremos saber el número de $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ donde $0\le x_i\le 9\in\mathbb Z$ $x_1\not=0$ tal que $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=S \\ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=-11\end{casos}\quad\text{o}\quad \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=S \\ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=11\end{casos},$$ es decir, $$\begin{cases}x_1+x_3+x_5=\frac{S-11}{2}\\ x_2+x_4=\frac{S+11}{2}\end{cases}\quad\text{or}\quad \begin{cases}x_1+x_3+x_5=\frac{S+11}{2}\\ x_2+x_4=\frac{S-11}{2}\end{cases}$$So, using Newton's generalized binomial theorem, we have that the number we want is given by $$\begin{align}&\left([x^{(S-11)/2}] \left(\frac{x-x^{10}}{1-x}\right)\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^2\right)\times\left([x^{(S+11)/2}]\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^2\right)\\\\&\qquad +\left([x^{(S+11)/2}] \left(\frac{x-x^{10}}{1-x}\right)\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^2\right)\times\left([x^{(S-11)/2}]\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^2\right)\\\\&=\left([x^{(S-11)/2}](x-x^{10})(1-x^{10})^2(1-x)^{-3}\right)\times \left([x^{(S+11)/2}](1-x^{10})^2(1-x)^{-2}\right)\\\\&\qquad +\left([x^{(S+11)/2}](x-x^{10})(1-x^{10})^2(1-x)^{-3}\right)\times \left([x^{(S-11)/2}](1-x^{10})^2(1-x)^{-2}\right)\\\\&=\left([x^{(S-11)/2}](x-x^{10}-2x^{11}+2x^{20}+x^{21}-x^{30})\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+2}{2}x^j\right)\\\\&\qquad\qquad\qquad\times \left([x^{(S+11)/2}](1-2x^{10}+x^{20})\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)x^j\right)\\\\&\qquad +\left([x^{(S+11)/2}](x-x^{10}-2x^{11}+2x^{20}+x^{21}-x^{30})\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+2}{2}x^j\right)\\\\&\qquad\qquad\qquad\times \left([x^{(S-11)/2}](1-2x^{10}+x^{20})\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)x^j\right)\end{align}$$

Por lo tanto, si $S=43$, entonces el número que queremos es $$\begin{align}&\left(\binom{17}{2}-\binom 82-2\binom 72\right)\times (28-2\times 18+8)\\\\&\qquad +\left(\binom{28}{2}-\binom{19}{2}-2\binom{18}{2}+2\binom 92+\binom 82\right)\times (17-2\times 7)=3\end{align}$$

• Si $S$ es par, entonces queremos saber el número de $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ donde $0\le x_i\le 9\in\mathbb Z$ $x_1\not=0$ tal que $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=S \\ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=0\end{casos}\quad\text{o}\quad \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=S \\ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=22\end{casos},$$ es decir, $$\begin{cases}x_1+x_3+x_5=\frac{S}{2}\\ x_2+x_4=\frac{S}{2}\end{cases}\quad\text{or}\quad \begin{cases}x_1+x_3+x_5=\frac{S+22}{2}\\ x_2+x_4=\frac{S-22}{2}\end{cases}$$So, similarly as the case where $S$ es impar, el número que queremos es dada por $$\begin{align}&\left([x^{S/2}](x-x^{10}-2x^{11}+2x^{20}+x^{21}-x^{30})\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+2}{2}x^j\right)\\\\&\qquad\qquad\qquad\times \left([x^{S/2}](1-2x^{10}+x^{20})\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)x^j\right)\\\\&\qquad +\left([x^{(S+22)/2}](x-x^{10}-2x^{11}+2x^{20}+x^{21}-x^{30})\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+2}{2}x^j\right)\\\\&\qquad\qquad\qquad\times \left([x^{(S-22)/2}](1-2x^{10}+x^{20})\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)x^j\right)\end{align}$$ So, if $S=36$, then the number we want is $$\begin{align}&\left(\binom{19}{2}-\binom{10}{2}-2\binom 92\right)\times(19-2\times 9)\\\\&\qquad +\left(\binom{30}{2}-\binom{21}{2}-2\binom{20}{2}+2\binom{11}{2}+\binom{10}{2}\right)\times 8=54\end{align}$$