Camino más corto para el cálculo de este límite

Question

Quiero calcular esto (sin L'Hospital):

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+ \tan x} - \sqrt{1+ \sin x}}{x^3}$$

Ya lo solucioné en un muuucho camino:\begin{align} \frac{\sqrt{1+ \tan x} - \sqrt{1+ \sin x}}{x^3} &= \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\sin x (1- \cos x )}{x^3 \cos x} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\sin x}{x} \frac{1- \cos x }{x^2 \cos x} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\sin x}{x} \frac{(1- \cos x)(1+\cos x) }{x^2 \cos x \ (1+\cos x)} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\sin x}{x} \frac{1- \cos^2 x }{x^2} \frac{1}{\cos x \ (1 + \cos x)} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= \frac{\sin x}{x} \frac{\sin^2 x }{x^2} \frac{1}{\cos x \ (1 + \cos x)} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}} \\ \\ &= 1 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{1 \cdot (1 +1)} \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} \tag{as %#%#%} \\ \\ &= \frac 1 4 \end {Alinee el}

¿Hay una forma más corta?

Edición: Me pregunto si hay un truco como $x \to 0$ etcetera.

Answer 1

La prueba parece correcto (pero usted ligeramente abusada notación al final - debe decir $\to 1 \cdot 1^2 \cdots$, no $= 1 \cdot 1^2 \cdots$de %). Puede acortarlo si utiliza $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

$$\frac{\sin x}{x} \frac{1- \cos x }{x^2 \cos x} \frac{1}{\sqrt{1+ \tan x} + \sqrt{1+ \sin x}}$$

$$=\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)}$$

$$\stackrel{x\to 0}\to 1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1\cdot (\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}=\frac{1}{4}$$