Grupo de orden 33 es siempre cíclico

Question

Me encantaría recibir ayuda sobre este problema a partir de un capítulo en el Colector de Grupo de Teoría:

Mostrar que cada grupo de orden 33 es cíclico. (Sugerencia: Use el resultado del Ejercicio y el Lema de la siguiente).

Ejercicio: Vamos a $p$ $q$ ser números primos tales que $p \nmid (q-1).$ Muestran que cada grupo de orden $pq$ posee un subgrupo normal de orden $p.$
Lema: Para cualquiera de los dos subgrupos $H$ $K$ $G,$ si $H \subseteq N_G(K), K \subseteq N_G(H),$ $(|H|, |K|) = 1,$ $[H, K] = \{ 1 \}.$

Si tienes que elegir entre elegantes y con los pies en la tierra ficticia de soluciones, por favor, dame el último. Sé que el último es tedioso para usted, pero usted tiene slowpoke por aquí. Gracias por su tiempo.

POST SCRIPT: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Gracias por señalar duplicado respuesta. De haber mirado por encima, sin embargo, creo que el 4 de soluciones desde que en 2011 la publicación fueron camino, el camino es demasiado largo para caber en la mente de un principiante. (Nótese especialmente que una de las soluciones es la de W. Burnside el libro clásico!) Creo que mi profesor tiene intencionalmente incluido los dos sugerencias para permitir más corto solución. Pero por desgracia no sé cómo conectar los puntos, y por eso estoy pidiendo ayuda aquí. Gracias de nuevo.

POST SCRIPT EN RESPUESTA A "TIMBUC": ~~~~~~~~~~~~~~~~
(1) En $G = PQ,$ puedo demostrar que el uso de $G \subseteq PQ$ y, a continuación,$PQ \subseteq G$? Cualquier acceso directo?
(2) En $P \cap Q = \{1\},$ I puede afirmar que debido a que ambos son subgrupos de $G$ y ambos tienen que tener neutral número, por lo tanto $P \cap Q = \{1\}.$, Pero ¿por qué molestarse? Yo no veo es útil en las siguientes líneas.
(3) En $PQ \cong P \times Q,$ puedo demostrarlo clásico con el $\varphi(x, y) = \varphi(x) \varphi(y)$ y, a continuación, bijectivism ya que son isomorfos? (Es "bijectivism" es la correcta sustantivo de bijective?)
(4) En $P \times Q,$ ¿cómo sabes que son cada uno de los cíclico en el primer lugar? Y cómo sabes que el producto directo de los subgrupos cíclicos con los compañeros de primer orden cíclico de nuevo? Son ellos los teoremas?
(5) muchas Gracias por su tiempo y ayuda.

Answer 1

El número de Sylow $\;11$- subgrupos de un grupo de $\;G\;,\;\;|G|=33=3\cdot 11\;$ , tiene que dividir $\;3\;$ y también ser igual a $\;1\pmod{11}\;$ , lo que significa que no hay un solo ejemplo de los subgrupos $\;P\;$$\;G\;$, y esto significa que es normal.

Con exactamente el mismo tipo de argumento demostrar que sólo hay una sola Sylow $\;3$- subgrupo $\;Q\;$$\;G\;$ , y también es normal.

Ahora, tenemos que $\;|G|=|PQ|\;$ (por qué?) y también se $\;P\cap Q=\{1\}\;$ (por qué?), así en el hecho de $\;G=PQ\cong P\times Q\;$ , y desde el producto directo de la cíclica subgrupos con coprime orden cíclico de nuevo, nos' re hecho.

Answer 2

Respuesta a la postscript:

1. En primer lugar, desde la $P\leq G, Q\leq G$, se deduce que $PQ\leq G$ ($PQ$ es un subgrupo porque ambos son normales por el ejercicio). Además, desde el $PQ=\{pq\mid p\in P, q\in Q\}$, y desde $1\in P, Q$, ajuste de $q=1$, $p$ arbitraria muestra que a cada elemento de a$P$$PQ$. Del mismo modo, mediante el establecimiento $p=1$ muestra que $Q$ está contenido en $PQ$. Por lo tanto, $PQ$ es un subgrupo que contiene tanto $P$$Q$, y por lo tanto divisible por tanto $3$$11$, y por lo tanto por $33$. Desde $G$ tiene fin $33$, $PQ$ debe ser todos los de $G$.

2. $P\cap Q$ es un subgrupo de ambos $P$$Q$, así que por la del Teorema de Lagrange, su orden divide tanto a a$3$$11$. Pero $\gcd(3, 11)=1$, por lo que el orden de $p\cap Q$$1$, lo $P\cap Q=\{1\}$.

3. Sí, usted puede utilizar el mapa de la $(p, q)\mapsto pq$. Este mapa es un homomorphism desde $p_1q_1p_2q_2=p_1p_2q_1q_2$, lo cual es cierto, ya que los elementos de $P$ conmuta con elementos de $Q$, por el lema. Este homomorphism es surjective desde todos los posibles productos $pq\in PQ$ se obtienen, y es inyectiva, pues si $pq=1$,$p=q^{-1}$, lo $p, q\in P\cap Q=\{1\}$, lo $(p, q)=(1, 1)$, y por lo tanto el núcleo es trivial. Por lo tanto, es un bijective homomorphism (el sustantivo forma de bijective es bijection) y así un isomorfismo.

4. Desde $P$ $Q$ primer órdenes, que son cíclicos. Esto es debido a que el orden del subgrupo generado por un nonidentity elemento no es $1$ y se divide el (primer) orden del grupo, por lo que este subgrupo debe ser el de todo el grupo. Dado que el grupo es generado por un solo elemento, es cíclico. También, el hecho de que el producto cíclico de los grupos de relativamente primer orden cíclico es el Teorema del Resto Chino.