Considere los tres anillos $\mathbb{C}[x,y] / \langle x^4 + xy -1\rangle$, $\mathbb{Z}[x,y] / \langle x^4 + xy -1\rangle$ y $\mathbb{F}_2[x,y] /\langle x^4- y^3 \rangle$. Se supone que debo detectar si estos son dominios de Dedekind o no. Sin embargo, no tengo idea de cómo hacerlo. Yo sé que un dominio de Dedekind es normal, noetherian, y de la dimensión 1. Así por lo menos puedo ver que cada uno de estos noetherian, porque son los cocientes de noetherian anillos. Pero no tengo idea de cómo comprobar el resto de cosas, o unverify ellos. ¿Hay alguna norma métodos o trucos para solucionar esto? Realmente agradecería cualquier ayuda en esto, gracias.
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La parte más difícil es, probablemente, demostrando que $f(x,y) = x^4 + xy - 1$ es irreducible sobre $\mathbb{C}$, y en particular a través de la $\mathbb{Z}$. Voy a dejar esto, pero me pregunta si usted tiene problemas.
Por lo tanto $A = \mathbb{C}[x,y]/(f)$ es un dominio. Ya vimos que el $A$ es noetherian. Ahora el primer ideal $(f)$ tiene la altura de un (porque es el principal) y $\mathbb{C}[x,y]$ es de dos dimensiones, por lo $A$ es unidimensional. Geométricamente, $A$ es el álgebra de funciones polinómicas en la curva de $X = \{ f = 0 \} \subset \mathbb{C}^2$. Como de normalidad, tomar las derivadas parciales $f_x(x,y) = 4x^3 + y$$f_y(x,y) = x$. El conjunto $X \cap \{ f_x = f_y = 0 \}$ está vacía, lo que significa que $X$ es nonsingular. Esto implica que $A$ es normal.
Como para $B = \mathbb{Z}[x,y]/(f)$, de nuevo $(f)$ tiene la altura de uno, sino de $\mathbb{Z}[x,y]$ es de tres dimensiones, por lo $B$ es de dos dimensiones y, en particular, no puede ser un dominio de Dedekind.
Finalmente, $C = \mathbb{F}_2[x,y]/(x^4 - y^3)$ no es normal porque el $y/x$, que se encuentra en la fracción de campo de $C$ pero no $C$ sí, cumple con los monic polinomio $t^3 - x$.
Bryan Roth
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Como se dijo en los comentarios, $\mathbb{Z}[x,y]/(f)$ no tiene dimensión$1$, por lo que no puede ser un dominio de Dedekind.
Para cualquier campo $k$ y cualquier valor distinto de cero el polinomio $f(x,y) \in k[x,y]$, el cociente $k[x,y]/(f)$ es el anillo de coordenadas del plano de la curva algebraica $f(x,y) = 0$. Este anillo es un dominio iff $f$ es irreductible. Es siempre Noetherian y unidimensional. Es un dominio de Dedekind iff es nonsingular (nonsingular $\implies$ normal $\implies$ nonsingular en codimension uno).
Suponiendo que el campo de tierra $k$ es perfecto, nonsingular es equivalente a lisa, y la segunda es mucho más fácil de detectar. La manera de hacerlo se remonta esencialmente a multivariable de cálculo: la curva definida por $f(x,y) = 0$ es suave en un punto de $P = (x,y)$ (que $f(P) = 0$!) el fib, al menos, uno de $\partial f / \partial x, \partial f / \partial y$ es distinto de cero en $P$.
Así, por ejemplo, en el tercer ejemplo, tanto las derivadas parciales se desvanecen en $P = (0,0)$. ¿Y el primer ejemplo?
