Por qué es el espectro principal de un dominio irreductible en la topología de Zariski

Question

¿Cómo se muestra que el espectro principal de un dominio es irreductible en la topología de Zariski?

Answer 1

Un espacio topológico es irreducible si y sólo si no está vacío y que cualquiera de los dos no vacío abierto subconjuntos han trivial intersección. Equivalentemente, si y sólo si el espacio no está vacío, y no puede ser escrito como una unión de dos adecuada cerrada por subconjuntos.

(Para ver la equivalencia: supongamos que cualquiera de los dos no vacío abierto subconjuntos han nontrival intersección, y deje $C_1$ $C_2$ ser cerrado subconjuntos tales que $C_1\cup C_2 = X$. Vamos $O_1=X-C_1$, $O_2=X-C_2$; desde $O_1\cap O_2 = (X-C_1)\cap(X-C_2) = X-(C_1\cup C_2) = \emptyset$, $O_1$ está vacía o $O_2$ está vacía, por lo tanto cualquiera de las $C_1 =X$ o $C_2=X$. Por el contrario, supongamos que $X$ no es la unión de dos adecuada cerrado subconjuntos, y deje $O_1$ $O_2$ ser abierto no vacío de conjuntos. A continuación, $C_1=X-O_1$ $C_2=X-O_2$ son propias de los subconjuntos cerrados, por lo $\emptyset\neq X-(C_1\cup C_2) = (X-C_1)\cap(X-C_2) = O_1\cap O_2$.)

Para un anillo $R$, $\mathrm{Spec}(R)$ como un juego se compone de todos los primer ideales de $R$, y los conjuntos cerrados son los conjuntos de la forma $V(E)$ donde $E\subseteq R$ es un subconjunto, y $V(E) = \{\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}(R) \mid E\subseteq \mathfrak{p}\}$.

Así, supongamos $R$ es un dominio. Es $\mathrm{Spec}(R)$ vacío? Sugerencia: Recuerde que si $S$ es un anillo conmutativo con identidad, a continuación, $\mathfrak{I}$ es un alojamiento ideal si y sólo si $S/\mathfrak{I}$ es una parte integral de dominio.

Ahora supongamos que $E$ $F$ son subconjuntos de a $R$ tal que $\mathrm{Spec}(R) = V(E) \cup V(F)$. Que significa: cada primer ideal de $R$ contiene $E$ o $F$ (o ambos).

En particular, hay una muy especial, el primer ideal que debe contener $E$ o $F$, lo que indica que $E$ o $F$ es en realidad igual a blank. Y por lo tanto, cualquiera de las $V(E)$ o $V(F)$ blah. Lo que significa que $\mathrm{Spec}(R)$ blankety-blank.

Para un encore, intenta hacer el Ejercicio I. 19 de Atiyah-MacDonald, que dice que, en general, $\mathrm{Spec}(A)$ es irreducible si y sólo si el nilradical de $A$ es un alojamiento ideal (y el aviso de que su proposición es sólo una consecuencia de un caso especial de esto).

Answer 2

Un hecho básico sobre el espacio topológico $\operatorname{Spec} R$ es que la irreductible componentes de $\operatorname{Spec} R$ corresponden naturalmente a la mínima el primer ideales de $R$. Para una prueba de que vea la Sección 13.4 de mi álgebra conmutativa notas. (No sé por qué no he dicho esto en el formulario de "Teorema: ..." sólo aparece en el texto. Voy a arreglar eso con el tiempo...)

Si usted admitir este hecho, entonces su pregunta es: "¿cuáles son los mínimos de los números primos en un dominio?", que es muy fácil de responder.

Answer 3

Puede ser demostrado que $Spec(R)$ es irreducible iff nilradical de $R$ es un ideal primo. Usando esto y el hecho de que nilradical de un dominio es simplemente $0$ que es la primera muestra ese espectro principal de dominio es irreducible.