Demostrar que la serie $\frac{x!}{x^x}$ converge utilizando la prueba integral

Question

La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ es claramente positivo y decreciente, pero ¿cómo se hace para integrar $\int\frac{x!}{x^x} dx$ ?

Answer 1

$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{n!}{n^n}}‎\sim \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{n}{e}}{n}=\dfrac{1}{e}<1$

Answer 2

Una forma muy aproximada de mostrar la convergencia es utilizar la expansión de Stirling del numerador. Dado que $k! \sim (\frac{k}{e})^k \sqrt{2 \pi k}$ el sumando se convierte en $a_k \sim \frac{\sqrt{2 \pi k}}{e^k}$ que luego puedes comparar con la integral, $\Gamma(\frac{3}{2})$ .

Esto, repito, es una forma bastante tosca y poco elegante de resolver el problema. También hay otras mejores.

Answer 3

Este no es un caso en el que deba utilizarse la prueba integral. ¡Sobre todo porque no tienes una función que se pueda integrar! El $x!$ término es lo que da problemas. Puede utilizar la "expansión de Sterling", como se menciona en una respuesta anterior, para sustituir $n!$ con una función de $x$ que puede pero en realidad se trata de una aproximación (ciertamente fuerte). Deberías utilizar otro método.