Evaluar y

Question

Evaluar $\sin(\frac{\pi}{8})$ y $\cos(\frac{\pi}{8})$

Me estaba preguntando lo que estoy haciendo mal, como que no parecen estar llegando a la respuesta correcta $\sin(\frac{\pi}{8})$

Lo que hice:

Que $\theta = \frac{\pi}{8}$

$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$

$\therefore \cos(\theta) = \sqrt{\frac{\cos(2\theta) + 1}{2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Ahora, $\sin(2\theta) = 2\cos(\theta)\sin(\theta)$

$\therefore \sin(\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{2\cos(\theta)}$

Resolución de $\sin(2\theta)$ y sustituir en mi respuesta para $\cos(\theta)$, me sale:

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2} + 2}}$ pero tengo una respuesta diciendo que $\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ y no pude parece que llegar a eso.

Answer 1

El truco es racionalizar el denominador multiplicando por el conjugado, a lo largo de las siguientes líneas:

$$\begin{align}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2} + 2}}&=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2} + 2}}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\\&=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2 \sqrt {4-2}}=\dfrac{\sqrt{\not 2}\sqrt{2-\sqrt 2}}{2 \sqrt {\not 2} }\\\ &=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\end{align}$$