¿Topología de Grothendieck inducido en una categoría presheaf o gavilla de un sitio web?

Question

Mientras que la lectura de Demazure-Gabriel construcción de $\mathcal{S}ch$ como una subcategoría de $\mathcal{P}sh(CRing^{op})$, he estado tratando de traducir su exposición en el lenguaje de cobertura de los tamices y Grothendieck topologías. El requisito de que un esquema de ser una gavilla en la topología de Zariski en $CRing^{op}$ es ya esencialmente en el lenguaje de los tamices, pero el requisito de que no existe una cubierta de cuñados me está dando algunos problemas.

La pregunta, entonces:

En general, existe un natural inducida por Grothendieck la topología en $\mathcal{P}sh(\mathcal{C})$ o $\mathcal{S}h(\mathcal{C})$ donde $\mathcal{C}$ es un sitio (no es un pre-sitio!)?

Edit: he quitado las otras partes de la pregunta con respecto a t-Esquemas y algebraicas espacios como functors de puntos de preguntar en algún otro momento.

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es sí. Supongamos $C$ un sitio.

La categoría de $C^{\sim}$ de las poleas en $C$ simplemente ha canónica de la topología (SGA 4, Vol. 1, Exp. II, 2.5). Las poleas aquí son precisamente lo representable las poleas. (Estoy ignorando las preguntas acerca de los universos.)

La categoría de $C^{\wedge}$ de presheaves en $C$ hereda una topología de la siguiente manera (SGA 4, Vol. 1, Exp. II, §5). Declarar de morfismos $F\to G$ de presheaves en $C$ a ser un cubrimiento de morfismos si el inducido de morfismos $aF\to aG$ de los asociados a las poleas es un epimorphism. Ahora dicen que una colección de morfismos $F_i\to G$ es un cubrimiento de la familia si los morfismos $\amalg F_i\to G$ es una cubierta de morfismos. Esto le da a $C^{\wedge}$ los mejores subcanonical topología tal que la cobertura de familias en $C$ dar lugar a la cobertura de familias en $C^{\wedge}$. Esta topología en $C^{\wedge}$ puede ser visto como la elevación de la topología en $C^{\sim}$ descrito anteriormente a lo largo de la sheafification functor $a$.