Ejemplo en el que *necesita* no DVR en los criterios de valoración

Question

El criterio valorativo de separación (resp. propiedad) dice que un morfismo de esquemas (resp. un morfismo cuasicompacto de esquemas) f:X→Y es separado (resp. propiedad) si y sólo si satisface el siguiente criterio:

Para cualquier anillo de valoración R (con K=Frac(R)) y cualesquiera morfismos Spec(R)→Y y Spec(K)→X que hagan conmutar los siguientes cuadrados

Spec(K) ---> X
  |          |
  |          | f
  v          v
Spec(R) ---> Y

existe a lo sumo un (resp. exactamente un) morfismo Spec(R)→X que rellena el diagrama.

Pero si Y es localmente noetheriano y f:X→Y es de tipo finito, entonces esta condición sólo necesita verificarse para discreto anillos de valoración. ¿Alguien conoce algún ejemplo en el que no baste con utilizar DVR? En otras palabras, ¿existe un morfismo de esquemas f:X→Y que no es separados (resp. propios), pero hace satisfacen el criterio valorativo de los DVR?

Referencia: EGA II Proposición 7.2.3 y Teorema 7.3.8

Answer 1

Probablemente se puede tomar Y como el espectro de un anillo de valoración A que no es un DVR, por ejemplo el cierre integral de C[[t]] en un cierre algebraico de C((t)). En este caso cualquier homomorfismo de A a un DVR R tiene que factorizar a través del campo cociente o el campo residuo de A.

Para un ejemplo explícito, sean X dos copias de Spec(A) pegadas a lo largo del complemento del punto cerrado y sea X --> Y el mapa que es la identidad en ambas copias. Las fibras de este mapa son ambas propias por lo que satisface el criterio valorativo utilizando sólo DVRs por la observación anterior, pero el mapa en sí no es propio.