¿Por qué pueden ignorarse las cargas exteriores en la Ley de Gauss?

Question

En el curso 8.02 del MIT, se muestra en la clase 3 que podemos derivar la Ley de Gauss a partir de la de Coulomb para obtener

$ \phi = \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_{0}} $

Sin embargo, en la conferencia se asumió que no había cargas fuera de la superficie. Más tarde, se utilizó la Ley de Gauss y se ignoraron las cargas fuera de la esfera.

He estado pensando en ello y me he encontrado con ¿Puede alguien dar una forma intuitiva de entender por qué se cumple la ley de Gauss? .

La primera respuesta del usuario levitopher ayudó un poco. Creo que el argumento de la conferencia todavía se mantiene cuando hay cargas fuera porque $ \vec{E} $ se añade vectorialmente.

Supongamos que tenemos $ Q_{enc} $ en una esfera y $ Q_{out} $ fuera de la esfera. Entonces,

Por definición, $ \phi = \oint (\vec{E_{Q_{enc}}} + \vec{E_{Q_{out}}}) \cdot \vec{dA} $
$ = \oint \vec{E_{Q_{enc}}} \cdot \vec{dA} + \oint \vec{E_{Q_{out}}} \cdot \vec{dA}$
$ = \oint \vec{E_{Q_{enc}}} \cdot \vec{dA} + 0 $
$ = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_{0}} $

Esto supone que $ \oint \vec{E_{Q_{out}}} \cdot \vec{dA} = 0 $ porque todas las líneas de campo que entran deben salir (mano ondulada pero voy a aceptarlo por ahora).

Me gustaría saber si este argumento es sólido.

Answer 1

El argumento es perfectamente sólido. Agitar la mano es un término diminutivo para esto, ya que realmente es la esencia de la Ley de Gauss. He aquí una respuesta física sucinta, sin recurrir a las matemáticas, que puedes utilizar para dar sentido a la situación.

Líneas de campo debidas a cargas localizadas fuera de cruzará la superficie primero mientras ''entra'' y luego, mientras ''sale'', y por lo tanto, el flujo neto a través de la superficie cerrada $S$ será cero. La dirección sólo La forma en que contribuirán a un flujo distinto de cero es si hay alguna(s) carga(s) positiva(s) o negativa(s) situada(s) en su interior, ya que, por ejemplo, las líneas de fuerza eléctrica se originan en una carga positiva y terminan en la carga negativa. Véase aquí por ejemplo.

Así, con una carga positiva en la superficie, hay un flujo de salida distinto de cero, y con una carga negativa, un flujo de entrada neto distinto de cero. Con ambas cargas, positiva y negativa, en el interior, el efecto neto depende de ''cuales son más'', que es por lo que tienes que $Q_{encl}$ a la derecha. Se puede ver una ilustración para cada uno de estos tres casos aquí .

Answer 2

Tu argumento de la "conservación de las líneas de campo" es sólido, de lo contrario, básicamente acabas de utilizar la ley de Gauss en tu trabajo anterior. Por el teorema de la divergencia y las ecuaciones de Maxwell, $$\int \vec{E}\cdot \vec{dA}=\int \vec{\nabla} \cdot \vec{E} dV=\int \rho /\epsilon_0 ~dV=\rho_{enc} / \epsilon_0$$ Por tanto, el (flujo de) campo eléctrico sólo depende de la carga encerrada.

Pero, realmente creo que el argumento de la "mano ondulada" es bastante bueno. Si se supone que no hay discontinuidades en el campo eléctrico, entonces todas las líneas de campo que entran deben salir de la región. Por tanto, las líneas de campo sólo pueden empezar/terminar con cargas, pero si esas cargas están dentro de la región, entonces ya las has tenido en cuenta. Creo que es uno de los mejores argumentos que tenemos :-)

Answer 3

Otras respuestas ya han dicho por qué debería ser cero físicamente. Pero tal vez usted está interesado en la demostración matemática.

Se puede demostrar fácilmente utilizando la ley de Coulomb $\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^2}$ y ángulo sólido .

Toma una carga puntual de las cargas fuera de la superficie. Averigua el flujo debido a ella. En la figura siguiente se ve cómo el flujo que pasa a través de las superficies $d\vec{S_1}$ y $d\vec{S_2}$ debidas a esta carga(q) se anulan entre sí.

$ \int_{d\vec{S_1}+d\vec{S_2}} \vec{E_{q}} \cdot \vec{dA}= \vec{E_{q}} \cdot {d\vec{S_1}}+ \vec{E_{q}} \cdot {d\vec{S_2}}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}\cdot {d\vec{S_1}}}{r_1^2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}\cdot {d\vec{S_2}}}{r_2^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(-d\omega+d\omega)=0 $ desde $\frac{\hat{r}\cdot {(-d\vec{S_1}})}{r_1^2}=d\omega$ .

Análogamente, tomando todos esos pares de superficies infinitesimales se puede demostrar $ \oint \vec{E_{q}} \cdot \vec{dA}=0$ .

Por lo tanto, para una colección de cargos externos, $$ \sum_i \oint \vec{E_{q_i}} \cdot \vec{dA}=0$$ $$ \oint \vec{\sum_i E_{q_i}} \cdot \vec{dA}=0$$ $$ \oint \vec{E}_{Q_{out}} \cdot \vec{dA}=0$$

Answer 4

Creo que merece la pena enfocar tu pregunta desde un punto de vista un poco diferente. Sabemos que el campo eléctrico es un campo vectorial. En general, la divergencia de un campo vectorial es una medida de las fuentes/sumideros de campo. Esto es sólo una interpretación de una propiedad matemática, y se aplica a cualquier campo vectorial. Utilizaremos el símbolo rho para indicar la fuente del campo.

$$\nabla\cdot \vec{E} \propto \rho$$

La constante de proporcionalidad depende de en qué unidades quieras medir tu fuente de campo. Simbolizaré la constante como épsilon.

$$\nabla\cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Entonces podemos integrar sobre un volumen arbitrario.

$$\int\nabla\cdot \vec{E} dV = \int\frac{\rho}{\epsilon_0}dV=\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$ donde elegí la constante $q_{encl}$ para representar la integral de volumen de $\rho$ .

Ahora usaré el teorema de la divergencia para reescribir la integral de la divergencia como una integral de superficie.

$$\int\nabla\cdot \vec{E} dV = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$

Imaginemos ahora una fuente que existe en un único punto. Por simetría circular, el campo debe ser perpendicular a una superficie esférica alrededor del punto, y de magnitud constante a una distancia dada del punto.

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \oint E dS = E\oint dS=4\pi r^2 E$$ $$ 4\pi r^2 E =\frac{q_{point}}{\epsilon_0}$$ $$ E = \frac{q_{point}}{ 4\pi \epsilon_0 r^2 }$$

Así que es casi la ley de Coulomb. Para terminar el trabajo, también necesitas saber cómo se relaciona una fuerza con el campo eléctrico. En realidad hay una ambigüedad de signo por la orientación de la superficie, que convenientemente he ignorado. Esto corresponde a la elección arbitraria de qué carga es positiva o negativa.

Esto es algo notable: empezamos con las propiedades de un campo vectorial, elegimos constantes arbitrarias, elegimos una fuente puntual en 3 dimensiones, y derivamos efectivamente la ley de coulomb. La ley de Gauss es en realidad una propiedad general de los campos vectoriales, y la ley de Coulomb se deriva de la geometría, combinada con la fuerza de Lorentz. Esta ecuación, $$ E = \frac{q_{point}}{ 4\pi \epsilon_0 r^2 }$$ se aplica a cualquier campo vectorial con una fuente puntual en 3 dimensiones, donde la constante $\epsilon_0$ define las unidades, y nada más.

En mi humilde opinión, el paso más confuso de toda esta derivación es el uso del teorema de la divergencia. Creo que tu insatisfacción se debe a que el teorema de la divergencia puede ignorar fuentes fuera del volumen/superficie de integración. Aunque esto no es realmente un problema con la ley de Gauss, que se cumple de todas formas.