Problema de sustitución trigonométrica: dominio de $\theta$

Question

Estoy estudiando cálculo de Rogawski del Cálculo. En trigonométricas sustitución de $x=a\sec \theta$ hizo una nota:

En la sustitución de $x = a \sec θ$ , elegimos $0\le θ \le π$ 2 si $x \ge a$ $π \le θ < \frac{3π}2$ si $x \le −a$. Con estas opciones, $a \tan \theta$ es la raíz cuadrada positiva $\sqrt{x^2 − a^2}$.

Cuando trabajo en la integral:

$$\int \frac {\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-9}}$$ Mediante la sustitución de $x=3\sec\theta$ con el dominio de $\theta$ se muestra arriba, la integración será : $$\int \frac {dx}{x\sqrt{x^2-9}}= \int \frac {3\sec\theta\tan\theta d\theta}{(3\sec\theta)\sqrt{9\sec^2-9}}=\int \frac {\tan\theta d\theta}{3\sqrt{\tan^2 \theta}}$$ $$= \int \frac{d\theta}{3}= \frac\theta 3+ \mathrm{C}$$

$$\int \frac {dx}{x\sqrt{x^2-9}}= \frac 13 \sec^{-1}\left(\frac x3\right)+ \mathrm{C}$$

Que está muy mal en la parte negativa del dominio de $x$, como se muestra en este gráfico:

Observe que la pendiente de la función azul en la negativa de dominio debe ser positivo no negativo!.

El problema de esta sustitución es $2$ cosas:

$1)$ El dominio de $\theta$ se elige de modo que la inversa no se puede hacer, ya que $\theta =\sec^{-1}x\notin (\pi,\frac{3\pi}2) $ que es el dominio elegido para $\theta $.

$2)$ Dependiendo de primer problema, debemos elegir $\theta \in (0,\pi)-\{\frac\pi 2\}$, lo que hace que $\sqrt{\tan^2 \theta}=|\tan \theta|$. La integral, a continuación, debe ser re-escrita como una función definida a tramos:

$$\int \frac {dx}{x\sqrt{x^2-9}}= \int \frac {3\sec\theta\tan\theta d\theta}{(3\sec\theta)\sqrt{9\sec^2-9}}$$

$$\int \frac {\tan\theta d\theta}{3\sqrt{\tan^2 \theta}} = \begin{cases} = \int \frac {d\theta}{3} = \frac 13 \sec^{-1}(\frac x3)+ C & \text{if $\theta \en (0,\frac \pi 2)$} \equiv x>3 \\= \int \frac {-d\theta}{3} = \frac {-1}3 \sec^{-1}(\frac x3)+ C & \text{if $\theta \(\frac \pi 2,\pi)$}\equiv x<-3 \end{cases}$$

Mis preguntas son:

Es este el pensamiento de la derecha ? no hay error de elegir el dominio de $\theta$ como se menciona en el libro ?

Mathematica me da la respuesta de $-\dfrac {1}{3} \tan^{-1} \left(\dfrac{3}{\sqrt{x^2-9}}\right) +\mathrm{C}$ que está a la derecha cuando graficados. Pero, ¿cómo construir esta integral ?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Para llegar a la respuesta da de Mathematica, usted puede dejar que $$ u = \sqrt{x^2 -9}.$$ You should get $$ \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{3} \right) + \text{constant} $$ and use the fact that $$\arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)~~~,x\gt 0$ $ y $$\arctan(\frac{1}{x}) = -\frac{\pi}{2} - \arctan(x)~~~,x\lt 0 $ $

Answer 2

En la sustitución de $x = a \sec\theta$ , elegimos $0 \leq \theta < \frac\pi2$ si $x \geq a$ $\pi \leq \theta < \frac{3\pi}2$ si $x \leq −a$. Con estas opciones, $a \tan\theta$ es la raíz cuadrada positiva $\sqrt{x^2 − a^2}$.

Creo que lo que Rogawski puede tener en cuenta aquí es que el $x = a \sec\theta$ no es exactamente lo mismo que $\theta = \sec^{-1}\left( \frac xa \right)$. Desde $\sec (-\theta) = \sec\theta$, las posibles soluciones para $x = a \sec\theta$ son:

$$\theta = \s^{-1}\left( \frac xa \right) + 2n\pi \quad \text{o} \quad \theta = -\s^{-1}\left( \frac xa \right) + 2n\pi, \quad \text{donde:$n \in \mathbb Z$.} $$

Si $x \geq a > 0$, así que Rogawski del consejo es que dejen $0 \leq \theta < \frac\pi2$, a continuación, $\frac xa \geq 1$ y el "positivo" de la solución con $n = 0$ produce un valor de $\theta$ en el intervalo correcto:

$$0 \leq \theta = \sec^{-1}\left( \frac xa \right) < \frac\pi2.$$

Pero tenga en cuenta que el rango de $\sec^{-1}$ es $\left[0, \frac\pi2\right) \cup \left(\frac\pi2, \pi\right]$. Si $x \leq -a < 0$, así que Rogawski consejo de da $\pi \leq \theta < \frac{3\pi}2$, a continuación, $\frac xa \leq -1$ y el "positivo" de la solución con $n=0$ sólo podemos dar los valores de $\theta$ en el intervalo de $\left(\frac\pi2, \pi\right]$, no $\left[\pi, \frac{3\pi}2\right)$. Y cualquier otro valor de $n$ produce un valor de theta incluso más lejos de el intervalo deseado. La única manera de producir un valor en el intervalo deseado, $\left[\pi, \frac{3\pi}2\right)$, es tomar el "negativo" de la solución con $n = 1$:

$$\pi \leq \theta = -\sec^{-1}\left( \frac xa \right) + 2\pi < \frac{3\pi}2,$$

que se puede comprobar después de observar que en este caso (con $\frac xa < -1$), $-\pi \leq -\sec^{-1}\left( \frac xa \right) < -\frac\pi2$.

Para la correcta subsitution (y a la inversa sustitución) es

$$\int \frac {dx}{x\sqrt{x^2-9}} = \int \frac {d\theta}{3} = \frac \theta 3 + C = \begin{cases} \dfrac13 \sec^{-1}\left( \dfrac x3 \right) + C & \text{if }\ x \geq 3, \\ -\dfrac13 \sec^{-1}\left( \dfrac x3 \right) + C & \text{if }\ x < -3. \end{casos}$$ (Tenga en cuenta que la constante de $2\pi$ en la "negativa" en caso de que se incorpora en la constante de integración, $C$.)

Este es el mismo resultado que obtuvo mediante el establecimiento de $\theta \in \left[0, \frac\pi2\right) \cup \left(\frac\pi2, \pi\right]$ y usando el hecho de que $\sqrt{\tan^2 \theta} = |\tan\theta\,|$. Personalmente, no veo nada malo con su método; de hecho, puede ser más fácil seguir la pista de la necesidad de hacer un "cambio de signo" para la integral al $x \leq -3$ cuando se tiene una explícita invocación la función valor absoluto, $|\tan\theta\,|$, en lugar de reglas que, implícitamente, cambiar el signo de $\sec^{-1}\theta$ (es decir, el requisito de que $\pi \leq \theta < \frac{3\pi}2$, cuya aplicación parece un poco oscuro para mí).

En resumen, ambos métodos dan el mismo resultado, que es el resultado correcto, pero sólo si se aplica exactamente como se requiere en cada paso. Su método parece ser menos propenso a errores que el método Rogawski recomienda, así que todo lo considerado, creo que prefiero la tuya.

(Por supuesto, si usted está tomando una clase de cálculo y tienes que escribir las soluciones de integrales como esta en las tareas o exámenes, es una buena política para escribir la solución en una forma que será fácil para el grado a grado correctamente. Así que si usted utiliza una técnica no se muestra en la clase o en el libro de texto, asegúrese de explicar claramente, gusta la forma en que explicó que $\sqrt{\tan^2 \theta} = |\tan\theta\,|$. Nos hace la vida más fácil para todos en el final).

Answer 3

No voy a responder a su problema en la parte del dominio. En su lugar, yo soy lo que sugiere una alternativa para la integración de la última integral.

Editado

Reclamación-1) $P = \int { \frac {dx}{\sqrt {1 - x^2}}} = ... = \sin ^{-1} x$.

Deje $x = \sin u$. A continuación, $dx = du$.

∴ $P = \int {\frac {(\cos u)du}{\sqrt {1 - \sin ^2 u}}} = u = \sin ^{-1} x$

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[Toda la Demanda-2 puede ser ignorado. Yo no desee eliminar.]

Reclamación-2) $Q = \int {\frac {dx}{\sqrt {a^2 – x^2}}} = … = \sin ^{-1} \frac {x}{a}$.

Deje $x = av$. A continuación, $dx = (a)dv$.

∴ $Q = \int {\frac {(a)dv}{\sqrt {a^2 – (av)^2}}}$

$ = \int {\frac {dv}{\sqrt {1 - v^2}}}$, que es esencialmente $P$.

$ = \sin ^{-1} v$

$ = \sin ^{-1} (\frac {x}{a})$

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Reclamación-3) $R = \int {\frac {dx}{x \sqrt {x^2 – a^2}}} = … = \frac {-1}{a} \sin ^{-1} \frac {a}{x}$.

Editar

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Deje $w = \frac {a}{x}$. A continuación, $dx = \frac {(-a) dw}{w^2}$

∴ $R = \int {\frac {-a (dw)/(w^2)}{(a/w) \sqrt {(a/w)^2 - a^2}}}$

$= - \int {\frac {dw}{w \sqrt{(a/w)^2 -a^2}}}$

$= - \int {\frac {dw}{aw \sqrt {(1/w)^2 - 1^2}}}$

$= \frac {-1}{a} \int {\frac {dw}{\sqrt {1^2 - w^2}}}$

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$= \frac {-1}{a} P$

$= \frac {-1}{a} \sin ^{-1} w$

$= \frac {-1}{a} \sin ^{-1} \frac {a}{x}$