¿Por qué $f(x) = \frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ es uniforme continua?

Question

Que $X$ ser un espacio métrico, $A$ y $B$ son dos subconjuntos de $X$. $d(x, A) = \inf_{z \in A}d(x,z)$ y $\inf_{x \in A,y \in B}d(x,y) = \delta > 0$ definimos $$f(x) = \frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ $

¿Cómo mostrar $f(x)$ es uniforme continua? Sé que, desde $|d(x,A)-d(y,A)| \leq d(x,y)$ $d(x,A)$ es uniforme continuo. ¿Hay algún principio garantizamos que se preserve la continuidad uniforme por la composición de funciones?

Answer 1

Tienes %#% $ #%

Finalmente, permutar $$|f(x)-f(y)|= \frac{ |d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,B)|}{(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))}$ y $x$ para que: $y$ $

$$|f(x)-f(y)|= \frac{ d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,B)}{(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))}$ % Que $d(x,A) \leq d(x,y)+d(y,A)$$

Por último, $$ \begin{array}{ll} d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,B) & \leq d(x,y)d(y,B)+d(y,A)(d(y,B)-d(x,B)) \\ & \leq d(x,y)(d(y,A)+d(y,B)) \end{array}$ $

Por lo tanto, $$|f(x)-f(y)| \leq \frac{d(x,y)}{d(x,A)+d(x,B)} \leq \frac{d(x,y)}{d(A,B)} =\frac{1}{\delta}d(x,y)$ es $f$-lipschitz y a fortiori uniformemente continua.