Extensiones binarias

Question

Esta pregunta es acerca de un ejemplo en una artículo de Dekking y Méndez Francia:

Para un entero $n$ deje $s(n)$ el número de unos en el binario de expansión, de modo que $s(2k)=s(k)$ y $s(2k+1)=s(2k)+1$, $\alpha \in (0,1/2)$ es fijo, $x = 2\pi i \alpha$ $$z_n= \sum_{k=0}^{n-1} \exp(xs(k)).$$ Los autores afirman que para todos los $n,m \in\mathbb N$ el siguiente puede ser demostrado por inducción: $$z_n=z_m \text{ and } z_{n+1}=z_{m+1} \Longrightarrow n=m.$$ Veo esto si $n,m$ tienen la misma paridad: Uno tiene $\exp(xs(n))=\exp(xs(m))$ e si $n,m$ son ambos impares esto da $\exp(xs(n-1))=\exp(xs(m-1))$ que en lugar rápidamente implica $z_{n-1}=z_{m-1}$.

Si $n,m$ son tanto que incluso uno puede utilizar la identidad $$z_{2n}=(1+e^x)z_n$$ (each term $e^{x(k)}$ for $k\in \lbrace n,\ldots,2n-1\rbrace$ corresponds to a term $e^{x(j)}$ with $0\le j \le n-1$ que $s(k)=s(j)+1$) para obtener el $z_{n/2}=z_{m/2}$$z_{n/2-1}=z_{m/2-1}$.

Sin embargo, no veo cómo proceder en caso de $n$ $m$ tienen distinta paridad.

Answer 1

Siempre busque el contraejemplo sería un lema que vale la pena parece.

$\alpha = 1/3$ (Por lo que $e^x$ es una raíz cúbica compleja de la unidad), $n = 6$ y $m = 9$ proporcionan uno. Esto es porque $s(6) = s(9)$ y $s(6), s(7), s(8)$ son todas distintas modulo 3.

Para el registro de la primera búsqueda de un contraejemplo fue con $\alpha = 1/4$ y no (pero sin una prueba--ciertamente hay no hay ejemplos menos de $10^6$).

Sospecho que pueden haber otros contraejemplos con $\alpha$ racionales.