Esta pregunta es acerca de un ejemplo en una artículo de Dekking y Méndez Francia:
Para un entero $n$ deje $s(n)$ el número de unos en el binario de expansión, de modo que $s(2k)=s(k)$ y $s(2k+1)=s(2k)+1$, $\alpha \in (0,1/2)$ es fijo, $x = 2\pi i \alpha$ $$ z_n= \sum_{k=0}^{n-1} \exp(xs(k)).$$ Los autores afirman que para todos los $n,m \in\mathbb N$ el siguiente puede ser demostrado por inducción: $$ z_n=z_m \text{ and } z_{n+1}=z_{m+1} \Longrightarrow n=m.$$ Veo esto si $n,m$ tienen la misma paridad: Uno tiene $\exp(xs(n))=\exp(xs(m))$ e si $n,m$ son ambos impares esto da $\exp(xs(n-1))=\exp(xs(m-1))$ que en lugar rápidamente implica $z_{n-1}=z_{m-1}$.
Si $n,m$ son tanto que incluso uno puede utilizar la identidad $$z_{2n}=(1+e^x)z_n$$ (each term $e^{x(k)}$ for $k\in \lbrace n,\ldots,2n-1\rbrace$ corresponds to a term $e^{x(j)}$ with $0\le j \le n-1$ que $s(k)=s(j)+1$) para obtener el $z_{n/2}=z_{m/2}$$z_{n/2-1}=z_{m/2-1}$.
Sin embargo, no veo cómo proceder en caso de $n$ $m$ tienen distinta paridad.
