Lema 1: Cada elemento de a Aut(C×) es de la forma z↦az o z↦az algunos a∈C×.
(ver aquí, Teorema 4.10)
Lema 2: Cada elemento de a Aut(C) es de la forma z↦az+b para algunos a,b∈C, a≠0.
(ver aquí)
Deje f(C)=Xg(C)=Y, y la nota de la asignación abierta teorema de la que X Y están abiertos. A continuación, h1:X→Y es holomorphic, y h2:Y→X es holomorphic. Tenga en cuenta que (h1∘h2)∘g=g h1∘h2 es el mapa de identidad en Y. Del mismo modo, h2∘h1 es el mapa de identidad en X. Por lo tanto, h1 es un biholomorphism X→Y h2 es un biholomorphism Y→X.
Ahora, desde la f es todo y no constante, el Pequeño Teorema de Picard nos dice que X es C o C−{p1} algunos p1∈C, y de manera similar a Y es C o C−{p2}. Desde X≈Y debemos tener ese X=C si y sólo si Y=C y de manera similar a X=C−{p1} si y sólo si Y=C−{p2}. Así que, desde aquí, hacemos un descanso en los casos de:
Caso 1: (X=Y=C) De esto podemos ver que h1 es un elemento de Aut(C), y así por el Lema 1,es de la forma h1(z)=az+b para algunos a,b∈C, a≠0. De modo que g=af+b.
Caso 2:(X=C−{p1},Y=C−{p2}) Tenemos que h1 es un biholomorphism C−{p1}→C−{p2}. Deje Tc traducción por c, y considerar la posibilidad de T−p2∘h1∘Tp1, lo cual es un elemento de Aut(C×), y por lo tanto igual a z↦az o z↦az algunos a∈C×. En el primer caso tenemos que h1=a(z−p1)+p2 y en el segundo caso h1(z)=az−p1+p2. Por lo tanto, cualquiera de las g=a(f−p1)+p2 o g=af−p1+p2.
EDIT: Es interesante notar que, si nos olvidamos de los más caso concreto, el sabio del análisis realizado anteriormente, entonces podemos frase la de arriba como diciendo "si f es un derecho-factor de g g es un derecho del factor de f, entonces existe una A∈PGL2(C) tal que Af=g". En particular, si dos funciones son correctas factor relacionado, a continuación, se diferencian por un automorphism de P1.