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Función entero dos son mutuamente ' factores derecho s. ¿Cómo se relacionan?

Que f,g ser no constantes funciones enteras. Si h es holomorfa sobre la imagen de f, y g=hf f es un factor adecuado de g.

¿Supongamos que f es un factor adecuado de g y g es un factor adecuado de f, es decir, hay h1 tal que g=h1f, and there's h2 such that f=h2g. What can be said of f and g #? ¿Cómo se relacionan?

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Goethe Puntos 18

Lema 1: Cada elemento de a Aut(C×) es de la forma zaz o zaz algunos aC×.

(ver aquí, Teorema 4.10)

Lema 2: Cada elemento de a Aut(C) es de la forma zaz+b para algunos a,bC, a0.

(ver aquí)

Deje f(C)=Xg(C)=Y, y la nota de la asignación abierta teorema de la que X Y están abiertos. A continuación, h1:XY es holomorphic, y h2:YX es holomorphic. Tenga en cuenta que (h1h2)g=g h1h2 es el mapa de identidad en Y. Del mismo modo, h2h1 es el mapa de identidad en X. Por lo tanto, h1 es un biholomorphism XY h2 es un biholomorphism YX.

Ahora, desde la f es todo y no constante, el Pequeño Teorema de Picard nos dice que X es C o C{p1} algunos p1C, y de manera similar a Y es C o C{p2}. Desde XY debemos tener ese X=C si y sólo si Y=C y de manera similar a X=C{p1} si y sólo si Y=C{p2}. Así que, desde aquí, hacemos un descanso en los casos de:

Caso 1: (X=Y=C) De esto podemos ver que h1 es un elemento de Aut(C), y así por el Lema 1,es de la forma h1(z)=az+b para algunos a,bC, a0. De modo que g=af+b.

Caso 2:(X=C{p1},Y=C{p2}) Tenemos que h1 es un biholomorphism C{p1}C{p2}. Deje Tc traducción por c, y considerar la posibilidad de Tp2h1Tp1, lo cual es un elemento de Aut(C×), y por lo tanto igual a zaz o zaz algunos aC×. En el primer caso tenemos que h1=a(zp1)+p2 y en el segundo caso h1(z)=azp1+p2. Por lo tanto, cualquiera de las g=a(fp1)+p2 o g=afp1+p2.

EDIT: Es interesante notar que, si nos olvidamos de los más caso concreto, el sabio del análisis realizado anteriormente, entonces podemos frase la de arriba como diciendo "si f es un derecho-factor de g g es un derecho del factor de f, entonces existe una APGL2(C) tal que Af=g". En particular, si dos funciones son correctas factor relacionado, a continuación, se diferencian por un automorphism de P1.

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