Función entero dos son mutuamente ' factores derecho s. ¿Cómo se relacionan?

Question

Que $f,g$ ser no constantes funciones enteras. Si $h$ es holomorfa sobre la imagen de $f$, y $g=h\circ f$ $f$ es un factor adecuado de $g$.

¿Supongamos que $f$ es un factor adecuado de $g$ y $g$ es un factor adecuado de $f$, es decir, hay $h_1$ tal que $$g=h_1\circ f,$$ and there's $ h_2$ such that $$f=h_2 \circ g.$$ What can be said of $f $ and $g # $? ¿Cómo se relacionan?

Answer 1

Lema 1: Cada elemento de a $\text{Aut}(\mathbb{C}^\times)$ es de la forma $z\mapsto az$ o $\displaystyle z\mapsto \frac{a}{z}$ algunos $a\in\mathbb{C}^\times$.

(ver aquí, Teorema 4.10)

Lema 2: Cada elemento de a $\text{Aut}(\mathbb{C})$ es de la forma $z\mapsto az+b$ para algunos $a,b\in\mathbb{C}$, $a\ne 0$.

(ver aquí)

Deje $f(\mathbb{C})=X$$g(\mathbb{C})=Y$, y la nota de la asignación abierta teorema de la que $X$ $Y$ están abiertos. A continuación, $h_1:X\to Y$ es holomorphic, y $h_2:Y\to X$ es holomorphic. Tenga en cuenta que $(h_1\circ h_2)\circ g=g$ $h_1\circ h_2$ es el mapa de identidad en $Y$. Del mismo modo, $h_2\circ h_1$ es el mapa de identidad en $X$. Por lo tanto, $h_1$ es un biholomorphism $X\to Y$ $h_2$ es un biholomorphism $Y\to X$.

Ahora, desde la $f$ es todo y no constante, el Pequeño Teorema de Picard nos dice que $X$ es $\mathbb{C}$ o $\mathbb{C}-\{p_1\}$ algunos $p_1\in\mathbb{C}$, y de manera similar a $Y$ es $\mathbb{C}$ o $\mathbb{C}-\{p_2\}$. Desde $X\approx Y$ debemos tener ese $X=\mathbb{C}$ si y sólo si $Y=\mathbb{C}$ y de manera similar a $X=\mathbb{C}-\{p_1\}$ si y sólo si $Y=\mathbb{C}-\{p_2\}$. Así que, desde aquí, hacemos un descanso en los casos de:

Caso 1: ($X=Y=\mathbb{C}$) De esto podemos ver que $h_1$ es un elemento de $\text{Aut}(\mathbb{C})$, y así por el Lema 1,es de la forma $h_1(z)=az+b$ para algunos $a,b\in\mathbb{C}$, $a\ne0$. De modo que $g=af+b$.

Caso 2:($X=\mathbb{C}-\{p_1\}$,$Y=\mathbb{C}-\{p_2\}$) Tenemos que $h_1$ es un biholomorphism $\mathbb{C}-\{p_1\}\to\mathbb{C}-\{p_2\}$. Deje $T_c$ traducción por $c$, y considerar la posibilidad de $T_{-p_2}\circ h_1\circ T_{p_1}$, lo cual es un elemento de $\text{Aut}(\mathbb{C}^\times)$, y por lo tanto igual a $z\mapsto az$ o $\displaystyle z\mapsto \frac{a}{z}$ algunos $a\in\mathbb{C}^\times$. En el primer caso tenemos que $h_1=a(z-p_1)+p_2$ y en el segundo caso $\displaystyle h_1(z)=\frac{a}{z-p_1}+p_2$. Por lo tanto, cualquiera de las $\displaystyle g=a(f-p_1)+p_2$ o $\displaystyle g=\frac{a}{f-p_1}+p_2$.

EDIT: Es interesante notar que, si nos olvidamos de los más caso concreto, el sabio del análisis realizado anteriormente, entonces podemos frase la de arriba como diciendo "si $f$ es un derecho-factor de $g$ $g$ es un derecho del factor de $f$, entonces existe una $A\in\text{PGL}_2(\mathbb{C})$ tal que $Af=g$". En particular, si dos funciones son correctas factor relacionado, a continuación, se diferencian por un automorphism de $\mathbb{P}^1$.