¿Cuál es la estructura algebraica de las funciones con puntos fijos?

Question

Así que me di cuenta de que el conjunto de funciones con un punto fijo $$f(x_0)=x_0,$$ se cierran bajo la composición $$(f\circ g)(x):=g(f(x)),$$ y con $e(x)=x$ las funciones invertibles parecen incluso formar un grupo (no conmutativo).

Entonces, si se elige otro punto $x_1$ y restringe el conjunto a las funciones que también tienen $x_1$ como punto fijo, entonces se vuelve a cerrar y así sucesivamente.

Si tengo un punto parametrizado (es decir, una curva, o incluso un par de ellas), entonces resolviendo $f_t(x(t))=x(t)$ para las familias $f_t$ debería darme morfismos entre las funciones para diferentes valores de $t$ .

¿Hay consideraciones generales al respecto?

¿Y está esto relacionado de alguna manera con la caracterización de los puntos de una variedad a través del ideal de funciones que evalúan a $0$ ¿ese punto?

Edición 1: Podría ser una propiedad general de los homeomorfismos o algo así, aunque no asocio la elección de puntos fijos aislados con este tipo de cosas.

Edición 2: Ahora veo que esto podría relacionar una traslación/transformación de puntos en el colector con una transformación del álgebra de funciones sobre ese colector. Esto tiene algunas características: Si tomas dos puntos $y_1$ y $y_2$ y las transformaciones a lo largo de las curvas $Y_1(t),Y_2(t)$ con $Y_1(0)=y_1, Y_1(1)=y_2$ y $Y_2(0): =y_2, Y_2(1)=y_1$ (se mueven entre sí), entonces el conjunto de la función con ambos puntos fijos $Y_1(t),Y_2(t)$ hace un bucle como $\{Y_1(0),Y_2(0)\}=\{Y_1(1),Y_2(1)\}=\{y_1,y_2\}$ . La forma particular de las curvas influye en el aspecto del conjunto de funciones entre ellas.

Answer 1

Veo que esta pregunta no ha recibido una respuesta completa y eso puede deberse a la gran cantidad de campos que estudian los puntos fijos y a la falta de especificidad de los objetos que te interesan (aunque los puntos que has planteado son bastante generales y se aplican a muchos objetos). Sin embargo, intentaré responder en el contexto de los colectores.

Comenzamos con un colector $M$ y el espacio de todos los homeomorfismos que preservan la orientación de $M$ a sí mismo que denotaremos por $Homeo(M)$ (si $M$ es suave podemos, de hecho, restringir a difeomorfismos de $M$ ). También podemos restringir a los homeomorfismos que fijan un conjunto particular $N\subset M$ y denotaremos este subgrupo de $Homeo(M)$ por $Homeo(M,N)$ . Es un subgrupo por las mismas razones que mencionas en tu post. Ahora, $Homeo(M)$ es intratable. Por lo tanto, a menudo es útil examinar este grupo hasta algún tipo de equivalencia. En este caso, podemos optar por utilizar la equivalencia isotópica (es decir, dos homeomorfismos son equivalentes si existe un arco de homeomorfismos entre ellos). Denotamos este grupo hasta la equivalencia como $\pi_0(Homeo(M,N))$ .

La razón por la que ciertos subgrupos que fijan un subconjunto de $M$ son interesantes puede demostrarse en el siguiente ejemplo: considere un anillo cerrado $A$ . Denotemos el límite de $A$ como $\partial A\cong S^0\times S^1$ . Considere también el subgrupo de $Homeo(A)$ que arreglan $\partial A$ , $Homeo(A,\partial A)$ . Es fácil visualizar por qué $\pi_0(Homeo(A))\cong 0$ mientras que $\pi_0(Homeo(A,\partial A)\cong\mathbb{Z}$ . Intuitivamente, esto significa que los homeomorfismos del anillo pueden deshacerse si permitimos isotopías que no fijen la frontera (podemos "desentrañar"); sin embargo, trabajar con una frontera fija nos da un grupo de clases de mapeo no trivial ( $\pi_0(Homeo(M,\partial M)$ ). Esta noción se discute en detalle en "A Primer on Mapping Class Groups" de Benson Farb y Dan Margalit. Espero que esto demuestre un uso de esta idea que has descubierto. Hay muchos otros.