Solución de la EDO - positividad y unicidad

Question

Siempre veo el teorema en los libros de texto, pero sólo enuncian el teorema y luego dan ejemplos sobre cómo encontrar las raíces de la ecuación.

Sin embargo, me gustaría saber cómo se demuestra eso:

Si $q(t)$ es una función continua no positiva definida en $[0,\infty]$ y también $y_0$ y $y_1 $ son positivos, entonces para $t>0$ solución del problema: $$y''(t)+q(t)y(t)=0, y(0)=y_0, y'(0)=y_1$$
es positivo para todos los $t>0$ y es único.

Answer 1

Empezamos por derivar una identidad útil:

Desde

$y''(t) + q(t)y(t) = 0, \tag{1}$

tenemos

$y''(t) = -q(t)y(t); \tag{2}$

al multiplicar (2) por $y'(t)$ obtenemos

$y''(t)y'(t) = -q(t)y(t)y'(t); \tag{3}$

señalando que

$y''(t)y'(t) = \dfrac{1}{2}((y'(t))^2)', \tag{3}$

escribimos (3) como

$\dfrac{1}{2}((y'(t))^2)' = -q(t)y(t)y'(t); \tag{4}$

integrando (4) 'twixt $t_0$ y $t > t_0$ produce

$\dfrac{1}{2}((y'(t))^2 - (y'(t_0))^2) = \dfrac{1}{2}\int_{t_0}^t ((y'(s))^2)' ds = -\int_{t_0}^t q(s)y(s)y'(s) ds. \tag{5}$

Supongamos ahora que $y(t) = 0$ para algunos $t > t_0$ ya que asumimos que $y(t_0), y'(t_0) > 0$ Debe haber algún tipo de $\tau$ , $t_0 < \tau < t$ con $y'(\tau) = 0$ de lo contrario tendríamos

$y(t) = \int_{t_0}^t y'(s) ds + y(t_0) > y(t_0) > 0, \tag{6}$

ya que la integral que aparece en esta desigualdad es a su vez positiva. Elegimos la más pequeña de tales $\tau$ . Entonces, por (5),

$0 > -\dfrac{1}{2}(y'(t_0))^2 = -\int_{t_0}^\tau q(s) y(s) y'(s) ds; \tag{7}$

sin embargo, el negativo de la integral que aparece a la derecha de (7) es no negativo, ya que $q(t) \le 0$ en todas partes, y por nuestra elección de $\tau$ y las condiciones iniciales, $y(t), y'(t) \ge 0$ en $[t_0, \tau]$ . Esta contradicción implica $y(t) > 0$ para todos $t \ge t_0$ tomando $t_0 = 0$ a continuación, establece el resultado en el presente caso concreto.

La unicidad de la solución se deduce de los teoremas estándar, ya que $q(t)y$ siendo continua en $y$ y $t$ y continua de Lipschitz en $y$ satisface las hipótesis estándar que requieren estos teoremas.

¡¡¡QED!!!

Answer 2

He aquí una prueba intuitiva (no formal) de por qué el resultado es cierto. Podemos considerar $y(t)$ la solución a aproximar mediante diferencias finitas tomando intervalos $\Delta t$ y luego tomar el límite cuando $\Delta t \to 0$ .

Desde $q(t)$ es no positivo tendremos

$$ y'(t) = - \int_{0}^t q(s)y(s) + y_1 $$ Iterativamente podemos utilizar esta expresión y el hecho de que $y_1 >0$ para demostrar que $y'(t) >0$ . Por ejemplo, llame a $y(0) = y_0$ entonces por diferencias finitas:

$$y'(1) = -q(0)y_0 +y_1 >0 $$

y de forma similar para todos los demás. A continuación, en la construcción de la solución por iteraciones:

$ y(t)= \int_{0}^t y'(s) ds + y_0 >0 $

Sobre la unicidad, esto se produce porque en este esquema de iteración una vez $y'(0) =y_1$ se ha especificado la ecuación diferencial nos da $y''$ en cada iteración, que puede utilizarse para construir el conjunto de $y'(t)$ de una manera única. Una vez que tenemos $y'(t)$ lo integramos como arriba y producimos un único $y(t)$ que satisfaga las condiciones iniciales y la ecuación dadas.

Como he dicho esto no es formal, es más bien heurístico, pero confío en que se pueda hacer formal cuidando los detalles, la idea principal sin embargo es correcta creo.