¿Cómo probar que $|f(x)|\ge2^n (n+1) $ en estas condiciones?

Question

Asumir $f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$ es continua y satisface

1. $\int_0^1x^kf(x) \, dx=0 \quad\forall k\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$,
2. $\int_0^1x^n f(x) \, dx=1$.

¿Cómo probar que $\exists x\in[0 ,1]$ tal que $|f(x)|\ge2^n (n+1) $?

Answer 1

Deje $\tilde P_n$ $n$- th desplazado polinomio de Legendre. A continuación, $\tilde P_n$ tiene el grado $n$, resultando un coeficiente igual a $\binom{2n}n$ y

$$\int_0^1\tilde P_n(x)\tilde P_m(x)\,dx=\frac{\delta_{mn}}{2n+1}\ (\delta\ \style{font-family:inherit;}{\text{denotes the Kronecker delta}})\,.$$

La hipótesis sobre la $f$ implica que $\int_0^1\tilde P_n(x)f(x)\,dx=\binom{2n}n$. Si $a_n=(2n+1)\binom{2n}n$, luego por la ortogonalidad de los polinomios $\tilde P_n$ hemos

$$0\leq\int_0^1\bigl(f(x)-a_n\tilde P_n(x)\bigr)^2\,dx=\int_0^1f(x)^2\,dx-2a_n\binom{2n}n+\frac{a_n^2}{2n+1}$$

$$=\int_0^1f(x)^2\,dx-(2n+1)\binom{2n}n^2\,.$$

Desde $f$ es continua, entonces para algunos $x_0\in[0,1]$ tenemos $f(x_0)^2\geq(2n+1)\binom{2n}n^2\geq4^n(n+1)^2$ (esta desigualdad puede ser fácilmente demostrado por inducción en $\boldsymbol{n\geq2}$) , y por lo $|f(x_0)|\geq2^n(n+1)$, como se desee.