Cohomología de cuña es igual a la suma directa de cohomologies

Question

He visto el siguiente hecho utilizado en algún lugar (por ejemplo para mostrar que los $\mathbb{RP}^3$ no es homotopy equivalente a $S^3\vee\mathbb{RP}^2$):

Deje $X,Y$ dos ruta de acceso conectado señaló espacios de tal manera que la base de puntos que cada uno tiene un contráctiles barrio. Entonces: $$H^\bullet(X\vee Y)\cong H^\bullet(X)\oplus H^\bullet(Y)$$

Tengo dos preguntas:

1. ¿En qué categoría tenemos que tomar la suma directa? Intuitivamente, yo diría que la categoría de $R$-álgebras. Es correcto, o debemos hacerlo en la categoría de anillos, o algo más?
2. ¿Cómo puedo mostrar esto? Es bastante fácil de mostrar algo similar, es decir, que la reducción de cohomology de la cuña de tales espacios es isomorfo al producto de la reducción de la cohomologies como $R$-módulos (y esto es cierto para cualquier cuñas, no sólo finita). Sin embargo, no sé cómo proceder para la declaración anterior. Debo tratar de mostrar que el universal posee propiedad?

Answer 1

Como una declaración acerca de que no fue reducida cohomology, este es incorrecta (por $\bullet = 0$). La expresión correcta para no reducido cohomology es que

$$H^{\bullet}(X \sqcup Y) \cong H^{\bullet}(X) \times H^{\bullet}(Y)$$

donde $\sqcup$ denota la inconexión de la unión, no la cuña de la suma. Escribo el producto $\times$ sobre el lado derecho en lugar de la suma directa de porque

1. Mientras que los dos tienen el mismo subyacente abelian grupo, la correcta universal de los bienes de la RHS como un anillo, es que es el producto, y
2. Para un infinito discontinuo de la unión la respuesta sigue siendo la infinita producto en lugar de la infinita suma directa (que carece de una identidad multiplicativa).

Como una declaración sobre la reducción de cohomology, esto está bien en el nivel de abelian grupos (y puede ser demostrado el uso de Mayer-Vietoris), pero cuando se toma en cuenta la taza de producto de ejecutar en el molesto problema de que la reducción de cohomology no tiene una identidad multiplicativa.

Una revisión de la relación de cohomology de la punta de su espacio topológico $(X, \text{pt})$ como un par formado por un anillo de $H^{\bullet}(X)$ y un aumento de $H^{\bullet}(X) \to H^{\bullet}(\text{pt})$ (reduciendo así la cohomology es el núcleo de este mapa, también conocido como el aumento de ideal) y, a continuación, la declaración es que cohomology toma el pushout $X \vee Y$ a la correspondiente retirada de el diagrama de $H^{\bullet}(X) \to H^{\bullet}(\text{pt}) \leftarrow H^{\bullet}(Y)$ (aumentada anillo, por lo que mantener la inducida por el mapa a $H^{\bullet}(\text{pt})$).

Answer 2

1) la suma directa es una suma directa de $R$-álgebras.
2) creo que si sabes el resultado de $R$ módulos, se debe seguir el resultado deseado.
De hecho los mapas inducidos en cohomología pasan por el producto de la taza: $f^*(x \smile y) = f^*(x) \smile f^*(y)$ (es decir, son mapas de álgebra).
Como deben haber obtenido el isomorfismo de $R$-módulo mediante alguna secuencia de tiempo exacto, el isomorfismo ciertamente está dado por un "mapa inducido". Por lo tanto debe ser también un mapa de álgebra.