Demostrando que los elementos de la matriz de $A^n$ son cero

Question

Deje $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\-1 & 1 \\ \end{pmatrix}$. Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros $x_{n},y_{n}$ tal que $A^n= \begin{pmatrix} x_{n} & -2y_{n} \\ y_{n} & x_{n} \\ \end{pmatrix}$. Demostrar que para todos los $n$ los números de $x_{n}$ $y_{n}$ son no-cero.

He demostrado la existencia de los números de $x_{n}$$y_{n}$, con las relaciones de recurrencia $x_{n+1}=x_{n}+2y_{n}$$y_{n+1}=y_{n}-x_{n}$.

Para demostrar que estos números no son cero, supuse que si $x_{n}=0$,$detA^n=3^n=2y_{n}^2$. Desde $3^n$ es siempre un número entero impar, y $2y_{n}$ siempre es un número entero, se llega a una contradicción. Sin embargo, estoy atascado en el caso de $y_{n}=0$. He mirado en otros enfoques a este problema, pero ninguna de ellas ha funcionado hasta ahora.

Answer 1

Si usted encuentra los autovalores y autovectores de la matriz, puede diagonalize la matriz y por lo tanto obtener una expresión explícita para $A^n$. ¿Conoces este método?

Answer 2

los valores propios de $A$ son $1 \pm i\sqrt2.$ $A$ decir no es diagonalizable sobre los reals. las normas $y_n = 0$ porque son de los valores propios de $A^n$ $(1\pm i\sqrt 2)^n \neq 1.$

sólo tenemos que ver por qué suponer de $x_n \neq 0.$ $x_n = 0,$ son de los valores propios de $A^n$ $x_n$ veces los valores propios de $\pmatrix{0&-2\\1&0}.$ $x_n\sqrt 2i \neq (1\pm i\sqrt 2)^n.$

Answer 3

Tenemos $A^2 \equiv -A\pmod{3}$, que $A^n \equiv (-1)^{n+1} A\pmod{3} $

Por lo tanto, las entradas de $A^n$ nunca son divisibles por $3$, y en particular son distinto de cero.

Answer 4

Qué pasa con la eliminación de los términos de $y$ de su pait de relaciones de recurrencia para obtener una repetición de dos etapas para $x$ términos. Esto se puede solucionar... ¿conoces este método?