Trucos para recordar Fatou del lema

Question

Para una secuencia de no negativo funciones medibles $f_n$, Fatou del lexema es una declaración acerca de la desigualdad

$\int \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}(\int f_n \mathrm{d} \mu)$

o, alternativamente, (para las secuencias de funciones reales dominado por unos función integrable)

$\limsup_{n\rightarrow \infty}(\int f_n \mathrm{d} \mu) \leq \int \limsup_{n\rightarrow \infty} f_n \mathrm{d}\mu$

Me sigue olvidando la dirección de estas dos desigualdades. Sé que el uso de los conceptos en repetidas ocasiones es la mejor manera de recordar. Pero, estoy interesado sobre el aprendizaje intuitivo de los trucos que utiliza la gente rápidamente se acuerdan de ellos. (Por ejemplo, para recordar la dirección de la desigualdad de Jensen, yo sólo la foto de una función convexa y una línea de intersección)

Answer 1

Me gusta pensar en las siguientes imágenes. Las dos primeras son las $\int f_1$ $\int f_2$ respectivamente, pero incluso el más pequeño de éstos es mayor que el área en la tercera imagen, que es $\int \inf f_n$. Por supuesto, Fatou del lexema es más sutil, ya que estamos hablando sobre el límite de infimum más que el mínimo, pero para el propósito de la intuición esto ayuda a asegurarse de que las desigualdades de ir por el buen camino.

Answer 2

Me gusta recordar esto por ejemplo; en concreto vamos a $f_n = \chi_{[n,n+1]}$. A continuación,$\lim \inf f_n = 0$, e $\lim \inf \int f_n = 1$.

Answer 3

Cuando se pasa el límite, usted puede perder masa (empujando a infinito, como en Thomas Belulovich del ejemplo), pero la desigualdad en Fatou del lema dice que no puedes ganar masa.

Answer 4

1. La aplicación de $f \mapsto \int f$ es semicontinua inferior (para la una.e. la convergencia de funciones positivas).

2. Encontrar una cota superior para un $\liminf$ no es tan útil como la búsqueda de un límite inferior para una $\liminf$.

Answer 5

Escribir la declaración de la lema en una tarjeta de crédito pieza de tamaño de papel y la llevan alrededor de un mes.