Demostrando una desigualdad usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Tener en cuenta los cuatro números reales $a_1, a_2, a_3, a_4$ tal que $\sum a_i^3 = 10$. Demostrar que

$$\sum a_i^4 \geq \sqrt[3]{2500}$$

La aplicación de la de Cauchy Schwarz desigualdad con $a_i^2$$a_i$, obtenemos

$$\left(\sum a_i^3\right)^2 \leq \left(\sum a_i^4\right)\left(\sum a_i^2\right)$$

De nuevo, la aplicación de la de Cauchy Schwarz desigualdad con $a_i^2$$1$, obtenemos:

$$\left(\sum a_i^2\right)^2 \leq 4\left(\sum a_i^4\right)$$

Sustituyendo esto en la primera desigualdad, obtenemos:

$$\left(\sum a_i^3\right)^2 \leq 4\left(\sum a_i^4\right)^2$$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados,

$$\left(\sum a_i^3\right) \leq 2\left(\sum a_i^4\right)$$

$$\implies 5 \leq \sum a_i^4$$

Pero, $\sqrt[3]{2500} = 13.5720881$, que es más de $2$ veces $5$. ¿Cómo puedo probar la declaración requerida?

Answer 1

Utilizando las siguientes relaciones de Cauchy-Schwarz (que tiene la ventaja de ser aplicable para todos los reales): $$\left(\sum a_i^4\right)\left(\sum 1\right)\ge \left(\sum a_i^2\right)^2 \tag{1}$ $ $$\left(\sum a_i^4\right)\left(\sum a_i^2\right)\ge \left(\sum a_i^3\right)^2 = 100\tag{2}$ $

Observando LHS y RHS son positivos, cuadrado ambos lados de (2) multiplicar (1), y cancelar el positivo $(\sum a_i^2)^2 $ de ambos lados para obtener:
$$4 \left(\sum a_i^4\right)^3 \ge 100^2 \implies \sum a_i^4 \ge \sqrt[3]{2500}$$

Answer 2

No creo que la de Cauchy-Schwarz desigualdad proporciona una rápida prueba. Si no insistir en que, la rapidez de la prueba se desprende directamente de la siguiente desigualdad: $$\sqrt[3]\frac{\sum a_i^3}4\leq\sqrt[4]\frac{\sum a_i^4}4$$ Es decir, $$\sum a_i^4\geq4\left(\frac{\sum a_i^3}{4}\right)^{\frac43}=\sqrt[3]{2500}$$

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Por favor, permítanme explicar algo porque algunos mencionaron que el poder significa desigualdad se cumple sólo para no negativo $a_i$. Pero insisto en que si $M_3(a_i)>0, M_4(a_i)>0$, entonces podemos aplicar la desigualdad.

Separémonos $a_i$, de acuerdo a si es no negativo o negativo. Podemos escribir $$\sum a_i=\sum a_++\sum a_-\tag{*}$$ entonces aún consideran que la misma desigualdad $$\begin{align}\sqrt[3]\frac{\sum a_i^3}4&=\sqrt[3]\frac{\sum a_+^3+\sum a_-^3}4\\ &<\sqrt[3]\frac{\sum a_+^3+\sum(-a_-)^3}4\\ &\leq\sqrt[3]\frac{\sum a_+^4+\sum(-a_-)^4}4\\ &=\sqrt[4]\frac{\sum a_+^4+\sum a_-^4}4=\sqrt[4]\frac{\sum a_i^4}4\end{align}$$ La primera y la última línea es una simple expansión y la recolección (*). La segunda línea de la siguiente manera negativa que siempre es más que positivo. Y la tercera línea es el resultado directo de la potencia media de la desigualdad.

Nota: la segunda línea es estrictamente menor que, lo que implica que si "=" alcanza, todos los $a_i$ debe ser positivo.