Derivado de la inclusión de una subvariedad

Question

Sé que hay otras preguntas similares a este, pero solo quiero que me digas si lo que estoy haciendo es rigth y cómo mejorarla. El problema es el siguiente: (estoy usando las definiciones por Guillemin & Pollack)

Deje $Y\subset R^N$ $l-$dimensiones del colector y supongamos $X$ $k-$dimensiones submanifold de $Y$. Deje $\imath:X\rightarrow Y$ ser la inclusión del mapa. A continuación, para cada $x\in X$, el diferencial de $d\imath_x:T_xX\rightarrow T_xY$ es también la inclusión del mapa.

Esta es mi solución: tomemos $x\in X$. Considere la posibilidad de una parametrización de la $\phi:U\subset R^l\rightarrow V$ $Y$ $x$ tal que $0\in U$$\phi(0)=x$. Ya que las definiciones no dependen de las parametrizaciones podemos considerar la siguiente parametrización de $X$$x$: sabemos que existe un conjunto abierto $\mathcal V$ $R^N$ tal que $V=\mathcal V\cap Y$, por lo que podemos considerar el conjunto abierto $\tilde V=\mathcal V\cap X$$X$. Definir $\tilde\phi:\tilde U\subset R^k\rightarrow\tilde V$ $$\tilde\phi(a_1,\dots,a_k)=\phi(a_1,\dots,a_k,0,\dots,0),$$ where $\tilde U$ is the inverse image of $U$ under the canonical inclusion $\jmath:R^k\hookrightarrow R^l$. Clearly, $\tilde\phi$ is smooth, because $\tilde\phi=\phi\circ\jmath$. Moreover, $\tilde\phi$ is a diffeomorphism with inverse $\tilde\phi^{-1}=\pi\circ\phi\vert_{\tilde V}^{-1}$, where $\pi:R^k\times R^{l-k}\rightarrow R^k$ is the projection on $R^k$. Now, let $v\en T_xX$, then $v=d\tilde\phi_0(a)$ with $\en R^k$. Observe that $v=d\phi_0(\jmath(a))$. Then $$d\imath_x(v)=d\phi_0\circ d\tilde\imath_0\circ(d\tilde\phi_0)^{-1}(v),$$ where $\tilde\imath=\phi^{-1}\circ\imath\circ\tilde\phi=\jmath\vert_{\tilde U}$. Since $d\tilde\imath_0=\jmath$, then we have $$d\imath_x(v)=d\phi_0\circ d\tilde\imath_0\circ(d\tilde\phi_0)^{-1}(v)=d\phi_0(\jmath(a))=v.$$ So, $d\imath_x$ es la inclusión del mapa.

Answer 1

Esta es sin duda una prueba válida, y mientras que el método de detrás es muy intuitiva, en realidad, la escritura de lo que se está haciendo es muy complicado, sobre todo teniendo en cuenta el problema se siente como debería ser "obvio".

Mucho "mejor" prueba viene de usar el siguiente equivalente a la definición de derivado, si $f:X\rightarrow Y$ es un buen mapa de colectores incrustado en $\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^M$ respectivamente, entonces definimos la derivada de $f$ a $x$, $df_x:T_xX\rightarrow T_{f(x)}Y$ tomando una suave extensión de $f$, $F:U\rightarrow\mathbb{R}^M$ (donde $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^N$) y la toma de $df_x$ a ser la restricción de $dF_x$$T_xX$.

Usted puede demostrar que esto es (también) definido (es decir, un mapa a $T_{f(x)}Y$, independiente de la elección de extensión) mostrando que para una determinada extensión y la elección de parameterisations $\phi$ $X$ $\psi$ en $Y$, $dF=(d\psi)(d\bar f)(d\phi)^{-1}$ (sobre los dominios). Tenga en cuenta que el lado izquierdo es independiente de la tabla, y el lado derecho es independiente de la extensión, de modo que ambas expresiones son independientes de ambos! Me cuentan, al menos, tres pájaros de un corto de prueba (que es una razón por la que me gusta mucho más esta definición de derivada) debido a que una muestra de esta definición se encuentra bien definido, también muestra que su definición está bien definido, y que los dos son el mismo, que le proporciona varios métodos para el cálculo.

De todos modos, el uso de esta definición, con la notación como en tu pregunta, la inclusión del mapa de $\iota :X \rightarrow Y$ es sólo la restricción de la identidad del mapa de $I_N$$\mathbb{R}^N$. Por lo tanto $d\iota_x$ es la restricción de que la derivada de $I_N$$T_xX$, es decir, la inclusión del mapa. Hecho en apenas tres líneas, sin cálculo!