¿$(5+\sqrt[3]2)^n$ Es siempre un entero $n \in \Bbb Z \setminus \{0\}$?

Question

En general, me gustaría probar que si $m>2$ es un número entero, entonces $(5+\sqrt[m]2)^n$ nunca es un número entero (a menos de $n=0$).

En primer lugar, estoy interesado en el simple caso de $m=3$ (ya he solucionado lo de $m=2$). De hecho, pienso que $x_n=(1+\sqrt[3]2)^n$ nunca es racional.

---

Aquí es lo que he intentado.

Supongamos que $r:=x_n \in \mathbb{Q}$ algunos $n>0$. A continuación, $\sqrt[n]{r} = 5+\sqrt[3]{2}$ tiene el grado $3$ $\Bbb Q$ y su mínimo polinomio es $x^3-15 x^2+75 x-127$. Se ha de dividir a la $X^n-r$$\Bbb Q[X]$. Por lo tanto, podemos encontrar tres números enteros $0≤r_1<r_2<r_3<n$ tal que $$(X-\sqrt[n]{r}\zeta_n^{r_1}) (X-\sqrt[n]{r}\zeta_n^{r_2}) (X-\sqrt[n]{r}\zeta_n^{r_3}) = X^3-15 X^2+75 X-127$$ (y el producto de los otros factores lineales $(X-\sqrt[n]{r}\zeta_n^{j})$ debe tener racional de los coeficientes). Traté de comparar los términos constantes... sin éxito. Incluso si la teoría de Galois fue muy útil en el caso de $m=2$, no estoy seguro de cómo, posiblemente, el uso que aquí se $(m≥3)$. La computación de las normas $N_{\Bbb Q(\sqrt[m]{2})/\Bbb Q}$ podrían dar las condiciones necesarias en $n$ $x_n$ ser un número racional.

También probé con un campo de extensiones y grados, pero no sé nada acerca de la irreductibilidad de $X^n-r$, por ejemplo.

Gracias de antemano!

Answer 1

Supongo que $(5+\sqrt[m]{2})^n$ es racional. Luego se fija por el grupo de Galois de $x^m-2$. Contiene $\sqrt[m]{2}\mapsto \zeta \sqrt[m]{2}$ $\zeta=e^{2\pi i/m}$ Dónde está una raíz primitiva $m$ th 1.

Así $(5+\sqrt[m]{2})^n= (5+\zeta \sqrt[m]{2})^n$. Esto es imposible: ni siquiera tienen el mismo valor absoluto.

Answer 2

En general, $(k + \sqrt[\ell]{n})^m \not \in \mathbb{Z}$ para cualquier $k, l, m, n \in \mathbb{Z}_+$, $\ell \geq 2$, y $n$ plaza libre (que incluye el caso de $n = 2$).

Esto es visto por el uso de la fórmula binominal: $$(k + \sqrt[\ell]{n})^m = \sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}k^{m-j}n^{j/\ell}$$

Desde $x^\ell - n$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el criterio de eisenstein y $n^{1/\ell}$ es una raíz del polinomio, $n^{1/\ell}, n^{2/\ell}, \cdots, n^{(\ell - 1)/\ell}$ son independientes sobre $\mathbb{Q}$, ya que el $n^{1/\ell}$ tiene un mínimo polinomio de grado $\ell$. Así que, cuando nos re-escribir el anterior binomio de expansión en términos de estos poderes, (si $i\equiv j$ es interpretada modulo $\ell$) $$(k + \sqrt[\ell]{n})^m = \sum_{j=1}^{m}\binom{m}{j}k^{m-j}n^{j/\ell} = \sum_{i=0}^{\ell-1}\left(\sum_{j\equiv i}\binom{m}{j}k^{m-j}n^{(j-i)/\ell}\right)n^{i/\ell}.$$

Tenga en cuenta que $j-i$ es un múltiplo de a $\ell$ desde $i \equiv j$.

Dado que este es un entero positivo combinación lineal de elementos que son independientes sobre el de los números racionales, si fuera racional, a continuación, todos los coeficientes serían iguales a cero, excepto los de $n^{0/\ell}$, sin embargo, vemos que esto no es cierto.