Transformaciones de Möbius

Question

Deje $A=\{0,1,\infty,a_1,\ldots,a_n\}$ $B=\{0,1,\infty,b_1,\ldots,b_n\}$ ser subconjuntos de la esfera de Riemann.

Deje $\sigma$ ser un automorphism de la esfera de Riemann, es decir, una transformación de Möbius, que $\sigma(A) = B$.

¿Qué se puede decir acerca de la $\sigma$?

Ejemplo. Supongamos que $n=0$. A continuación, $\sigma$ es un automorphism el envío de $\{0,1,\infty\}$$\{0,1,\infty\}$. Por lo $\sigma$ es el mapa de identidad o $z\mapsto \frac{1}{z}$.

Ejemplo. Supongamos que $n=1$. Bajo la hipótesis, tenemos que $b_1 = a_1$. (La cruz proporción de $A$ $B$ deben ser iguales). Así que no debería haber cuatro posibilidades para $\sigma$; siendo uno de ellos el mapa de identidad.

Answer 1

Tres puntos, $(a,\sigma(a)), (b,\sigma(b)), (c,\sigma(c))\in\mathbb{C}^2$, son totalmente suficiente para determinar una transformación de Möbius; la adición de más información que esto va a crear un sobredeterminada situación.

También, si usted tiene $\{a,b,c\}$ $\{\sigma(a),\sigma(b),\sigma(c)\}$ sin el conocimiento de que el argumento va a lo de la salida, tendrá un total de $3!=6$ diferentes transformaciones. Al hacer que los coeficientes de la transformación de Möbius incógnitas y se multiplica por el denominador, podemos resolver para la transformación exactamente a través de álgebra lineal (dado un conocido que-va-a-lo que la correspondencia). Wikipedia tiene cómo con un explícito determinante de la fórmula. Luego puedes decir lo que quieras acerca de $\sigma$ una vez que usted sabe qué es exactamente lo que puede ser.