No hay una regla general. Sin embargo, hay una clase de limitada auto-adjunto operadores cuyo espectro está hecho de un conjunto acotado de puntos aislados (adecuada autovalores) - a excepción de las $0$ en la mayoría-y los subespacios propios asociados a estos autovalores son finito dimensionales. Ellos son los llamados compactos operadores (esta clase incluye clases de operadores importantes en QM, como Hilbert-Schmidt y seguimiento de la clase).
Sin embargo, hay operadores que no son compactos, pero tiene un puro punto del espectro. Un ejemplo es el Hamiltoniano del oscilador armónico, cuya subespacios propios son también finito dimensionales pero es no acotada. La razón por la que el espectro tiene las mismas características que el de compacto de los operadores es que la inversa de los poderes de estos operadores o los asociados resolvent operadores están delimitadas y compacto.
Por el contrario, un ejemplo de un delimitada operador con puro continua del espectro es la posición del operador en $L^2([0,1], dx)$ definido como de costumbre
$$(X\psi)(x) = x \psi(x)\quad \forall \psi \in L^2([0,1], dx)\:.$$
No admitir (correcto) autovalores. El espectro es $\sigma(X)= [0,1]$.
Ya que, por una auto-adjunto del operador (en general, para un normal operador), $$||A||= \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|$$
usted ver que $||X||=1$.
NOTA. Con respecto a su último punto (una conexión entre normalisability de funciones propias y discreto de valores propios, la situación es la siguiente.
Si $\lambda\in \sigma(A)$ es un aislado punto del espectro ($\sigma(A)$) de la auto-adjunto del operador $A$. A continuación, $\lambda$ es un buen autovalor y sus vectores propios son adecuados (normalizable) vectores propios.
Así que, como usted supone, en la jerga de los físicos, "discretos" valores propios" son propias de los autovalores con normalizable vectores propios.
Lo contrario es, sin embargo, en general falsa. Usted puede tener puntos de $\lambda$ en un continuo de parte de $\sigma(A)$ (es decir, $\lambda \in (a,b)$$(a,b) \in \sigma(A)$) que son propias de los autovalores.
Incluso, en un no-espacio de Hilbert separable, es posible atrás empezaron a costruir un auto-adjunto del operador $A$ tal que $\sigma(A)=[0,1]$ y todos los puntos de $[0,1]$ son adecuados autovalores con adecuada vectores propios. En un espacio de Hilbert separable no es posible, pero uno puede construir fácilmente un operador cuyo conjunto apropiado de los autovalores es denso en $[0,1]$.
