¿Existen las "funciones trigonométricas parabólicas"?

Question

La ecuación paramétrica

$$\begin{align*} x(t) &= \cos t\\ y(t) &= \sin t \end{align*}$$

traza el círculo unitario centrado en el origen ( $x^2+y^2=1$ ). Del mismo modo,

$$\begin{align*} x(t) &= \cosh t\\ y(t) &= \sinh t \end{align*}$$

dibuja la parte derecha de una hipérbola regular ( $x^2-y^2=1$ ). Las funciones trigonométricas hiperbólicas son muy similares a la función trigonométrica estándar.

¿Existen funciones similares que tracen parábolas (porque es otra sección cónica) cuando se plantean como ecuaciones paramétricas como las funciones anteriores? Si es así, ¿son también similares a las funciones trigonométricas estándar e hiperbólicas?

Answer 1

En efecto, las hay, pero no suelen llamarse así. Lo que tienen en común las funciones trigonométricas e hiperbólicas ordinarias es que son soluciones de la ecuación diferencial $$f''(t) = af(t)$$ En $a$ es negativo, las soluciones son senos y cosenos ordinarios, escalados horizontalmente por un factor que depende de $a$ . Si toma una solución $f$ y dibujar el gráfico paramétrico $(x,y)=(f'(t), f(t))$ el resultado es una elipse cuya excentricidad depende de $a$ . Para $a=-1$ el seno y el coseno ordinarios son soluciones, y se obtiene un círculo.

Por otra parte, cuando $a$ es positivo las soluciones son senos hiperbólicos o cosenos hiperbólicos, de nuevo con un factor de escala horizontal que depende de $a$ . Una parcela de $(x,y)=(f'(t), f(t))$ es un brazo de una hipérbola con un ángulo central que depende de $a$ . Para $a=1$ el seno y el coseno hiperbólicos son soluciones, y la hipérbola es rectángulo.

Intuitivamente, entonces, puesto que una parábola es el caso límite entre una elipse y una hipérbola, deberíamos esperar obtener una "función parabólica" estableciendo $a=0$ . Lamentablemente, la ecuación diferencial pasa a ser $$f''(t)=0$$ cuyas soluciones son polinomios de primer grado, y es difícil hacer que creen una parábola. Sin embargo, hay una solución (¡muchas gracias a Qiaochu Yuan por señalarlo!): En lugar de $f''(t)=af(t)$ podemos tomar la ecuación diferencial básica como $$f'''(t)=af'(t)$$ En el $a\ne 0$ En este caso, lo único que cambia es que nos permite añadir un término constante a las soluciones, lo que simplemente desplaza la cónica en el plano. Pero para $a=0$ las soluciones son ahora todos los polinomios de grado $\le 2$ . Y cuando tomamos cualquier polinomio cuadrático $f$ y parcela $(x,y)=(f'(t), f(t))$ lo que obtenemos es, efectivamente, una parábola centrada alrededor del $y$ -¡Eje!

Si tomamos $f$ ser un primer grado polinomio, el trazado paramétrico es sólo una línea recta (vertical), otro caso límite de las secciones cónicas.

En todos los casos anteriores, el trazado $(f_1(t),f_2(t))$ para dos sin relación soluciones (para el mismo $a$ ) produce generalmente una cónica del mismo tipo general, pero quizás desplazada y girada. Y la dependencia de $a$ de la excentricidad/ángulo desaparece; eso fue mediado a través de la derivada en el $x$ posición.

Así que una "función parabólica" es simplemente otro término (redundante) para un polinomio cuadrático. No está muy claro cuál debe contarse como el seno y coseno parabólicos, sin embargo. Se podría argumentar a favor de $\operatorname{sinp}(t) = t$ y $\operatorname{cosp}(t) = 1+\frac12 t^2$ o al revés pero preocuparse demasiado por que es una tontería.

Answer 2

El problema de las formas generalizadas de trigonometría ha sido abordado en el pasado por varios autores, E. Ferrari (universidad de Roma) propuso diferentes formas y demostró el vínculo con las funciones elípticas.

Dattoli, Migliorati y Ricci utilizaron el enfoque de Ferrari para estudiar las funciones trigonométricas parabólicas y el vínculo pertinente con los polinomios de Chebyshev. Los artículos correspondientes se han publicado en arXiv:

• Las funciones parabólico-rigonométricas
• Las funciones trigonométricas parabólicas y los radicales de Chebyshev

Answer 3

$\DeclareMathOperator{\cosp}{cosp}$ $\DeclareMathOperator{\sinp}{sinp}$ $\DeclareMathOperator{\tanp}{tanp}$ $\DeclareMathOperator{\cotp}{cotp}$ $\DeclareMathOperator{\secp}{secp}$ $\DeclareMathOperator{\cscp}{cscp}$

Esto es similar a otro post, así que repetiré mi respuesta:

Definición de $$\cosp u = \cosh 2u\quad\text{ and }\quad\sinp u = \sqrt{2}\sinh u$$ da las identidades $$\cosp u - \sinp^2 u = 1,\quad \cotp u - \sinp u = \cscp u,\quad\text{ and }\quad\cscp u - \tanp u = \secp u \cscp u,$$ correspondiente a la parábola $x - y^2 = 1$ . Son análogas a las funciones circulares con ecuación definitoria $x^2 + y^2 =1$ o las funciones hiperbólicas, $x^2-y^2 = 1$ .

Answer 4

Se podrían escribir algunas funciones equivalentes, pero no serían muy útiles. Por ejemplo, para $y = x^2 -1$ : $$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\tan^2 (t)}}{2\tan (t)}$$ $$y=\frac{1\mp\sqrt{1+4\tan^2 (t)}}{2\tan^2 (t)}$$

No sé por qué estas funciones son menos útiles que las funciones hiperbólicas y trigonométricas habituales.

Answer 5

Pensemos en las funciones trigonométricas como formas convenientes de pasar de coordenadas cartesianas a polares. Convirtiendo una parábola "unidad" a polar, obtendríamos algo como

$$r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{1 - \sin^2\theta}$$

donde se podría seguir hasta la saciedad con identidades trigonométricas