Cerrado bajo composición de polinomios

Question

Estoy pensando en ser una TA para una clase de Ciencias de la computación y estoy revisando algunas cosas que se han deslizado en mi memoria. Actualmente estoy trabajando en esto:

Muestran que los polinomios son cerrados bajo composición tales que para todos los polinomios $x,y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, la función $r: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definidas en $z(n) = x(y(n))$ es también un polinomio.

He probado varios enfoques sobre el papel, pero no puedo subir con una respuesta coherente.

Answer 1

Un buen equipo-sciencey enfoque sería demostrar generalmente, por inducción estructural:

Lema. Si $E$ es cualquier expresión construida a partir de los operadores de $+$$\times$, reales constantes, y una sola variable $\mathtt X$, entonces la función de que los resultados de la evaluación de la $E$ con un valor de entrada obligado a $\mathtt X$ es un polinomio.

A continuación, si $p$ $q$ son polinomios, entonces simplemente desplegando sus definiciones en la expresión de $p(q(\mathtt X))$ le da algo que se construye fuera de $+$, $\times$, reales constantes, y el símbolo variable, a que se puede aplicar el lema.

Answer 2

Cada polinomio es $$ p (x) = \cdots\cdots + \square x ^ k + \cdots\cdots $$ (donde $\text{"}\square\text{''}$ es un coeficiente). Así\begin{align} p(q(x)) & = \cdots\cdots+\square(q(x))^k+\cdots\cdots \\ & = \cdots\cdots+ \square\Big( \square x^m + \square x^{m-1} + \square x^{m-1} + \cdots + \square \Big)^k +\cdots\cdots. \end {Alinee el} ¿cómo expansión $(a+b+c+\cdots+z)^k$? Al expandirlo, cada término es una constante tiempos una potencia de $x$. Por lo tanto usted termina con una suma de finito muchos de los.