$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt 2 + \sqrt 3)/\mathbb{Q})$

Question

Una base para $\mathbb{Q}(\sqrt 2 + \sqrt 3)$ en $\mathbb{Q}$ es $\{1,\sqrt 2 , \sqrt 3 , \sqrt 6 \}$

Las raíces de $x^2 -2$ son $\pm \sqrt 2$ y las raíces de $x^2 -3$ son $\pm \sqrt 3$ por lo que para encontrar automorfismos de $Gal$ tenemos que mapear raíces del mismo polinomio a otra raíz así que $\theta(\sqrt 2)= \pm \sqrt 2$ y $\theta \sqrt 3 = \pm \sqrt 3$

Se trata de posibles automorfismos:

Mi pregunta es ¿Cómo salgo de calcular que estos automorfismos preservan la suma y la multiplicación? En otras palabras a acceso directo :)

Sé que $|Gal(\mathbb{Q}(\sqrt 2 + \sqrt 3)/\mathbb{Q})| = [\mathbb{Q}(\sqrt 2 + \sqrt 3): \mathbb{Q}] = 4$ y según mi libro este hecho me permite omitir detalles que estos mapeos preservan $+/*$ . No entiendo por qué.

Hice uno de ellos, pero multiplicar 2 polinomios de cuatro entradas no es divertido :(.

Gracias

Answer 1

Aquí tienes un atajo. Ya sabes que la extensión es de Galois, y que es de grado 4. Por lo tanto debe haber cuatro automorfismos - pero has presentado las cuatro posibilidades. Por lo tanto...

Answer 2

Por añadidura, es obvio. En cuanto a la multiplicación, piensa en el polinomio de cuatro entradas $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ como el polinomio de dos entradas $A+B\sqrt{2}$ con $A,B\in\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ . Así $\theta_2(A+B\sqrt{2})=A-B\sqrt{2}$ y eso debería facilitar las cosas.