Un diffeomorphism local del espacio euclidiano que no es un diffeomorphism

Question

Podría alguien darme un ejemplo de un local diffeomorphism de $\mathbb{R}^p$ $\mathbb{R}^p$(en función de la clase a decir $C^k$ con una invertible diferencial mapa en cada punto) que no es una diffeomorphism..

en la línea real (1 dim caso) que significaría una función continua no nula derivado en un abrir $V$ $\mathbb{R}$ que no es bijective que no tiene sentido, por lo tanto, cualquier local diffeomorphism en la recta real es un diffeo..

Alguien podría darme un contraejemplo en una dimensión superior?

Answer 1

Considerar $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ definidas en $f(x,y)=(e^x \cos y,e^x \sin y)$

$Df(x,y)$ siempre es inversible porque $\det Df(x,y)=e^{2x}$ pero claramente $f$ no es uno a uno. Es periódica con período $2\pi$.

En dimensiones superiores, se puede utilizar $f(x)=(e^{x_1}\cos x_2, e^{x_1}\sin x_2, x_3, \dots, x_n)$.