¿Por qué necesitamos aprender técnicas de integración?

Question

Después de toda una vida enfocando las matemáticas de forma equivocada, este trimestre he tomado dos cursos de matemáticas en la universidad con un nuevo entusiasmo por las matemáticas. Estas clases son cálculo integral y cálculo multivariable.

El cálculo integral empezó bien, aprendiendo sobre las sumas de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo. Pero en lugar de dedicar mucho tiempo a adquirir la intuición que hay detrás de estas cosas, nos lanzamos a una técnica de integración tras otra.

¿Por qué razón tendríamos que memorizar y regurgitar un montón de métodos de integración en problemas de juguete durante 6 semanas? Es absolutamente extraño. No estoy tomando esto en algún JC al azar tampoco, esto es en una universidad de investigación superior. Esta clase está destruyendo por sí sola mi entusiasmo por el cálculo.

Cuando tenemos un software que puede hacer integrales mucho más difíciles que las que podemos hacer con lápiz y papel, ¿por qué íbamos a perder el tiempo memorizando sustituciones de Trig o integración por sumas parciales? ¿No lo convierte en una clase de álgebra glorificada?

Answer 1

En mi opinión, este es un sentimiento común después de una "vida de acercamiento a las matemáticas de forma equivocada". A la gente se le enseñan las matemáticas con un método muy rígido basado en fórmulas/patrones, y luego, cuando contrastan esto con las pruebas matemáticas, tienen una reacción instintiva contra cualquier cosa que se parezca remotamente a lo que hacían antes. Sin embargo, el hecho es que tendrás que ser capaz de hacer algo de esto sin la ayuda de un ordenador.

Al leer una demostración, es fácil dar por sentado que eres capaz de rellenar los detalles entre los pasos de la demostración, cuando en realidad todos estos pasos se pueden rellenar precisamente porque tienes la comprensión de la resolución de ecuaciones (álgebra básica) y el trabajo con desigualdades (aritmética básica), por ejemplo. Lo mismo ocurre con las pruebas que implican integración y derivadas.

Tal vez sea mejor dejarlo en manos de los que realmente saben de lo que hablan; Spivak escribe en su capítulo sobre la integración que nuestra motivación debería ser esa:

1. La integración es un tema estándar en el cálculo, y todo el mundo debería conocerlo.
2. De vez en cuando puede ser necesario evaluar una integral, en condiciones que no permiten consultar ninguna de las tablas de integrales estándar.
3. Los "métodos" de integración más útiles son en realidad teoremas muy importantes (que se aplican a todas las funciones, no sólo a las elementales).

Destaca que la última razón es la más crucial.

Personalmente, abogo por que los estudiantes no caigan en la trampa de pensar que esos métodos pedantes están por debajo de ellos. A menudo es fácil pensar que se entiende algo a alto nivel, pero no se aprende verdaderamente de qué se trata hasta que uno se ensucia realmente las manos con ello.

Answer 2

Una breve respuesta de Isaac Asimov : La sensación de poder .

Answer 3

Ahorro de algunas pulsaciones y saltos mediante el uso de variables de registro globales, poniendo todas las instrucciones en una sola asm() de la declaración, llegaría a algo así como

#define RB_WIDTH 5
#define RB_SIZE (1<<(RB_WIDTH))
#define RB_MASK ((RB_SIZE)-1)

register uint8_t rb_head      asm("r13");
register uint8_t rb_tail      asm("r14");
register uint8_t rb_sreg_save asm("r15");

volatile uint8_t rb_buf[RB_SIZE];

ISR(USART0_RX_vect, ISR_NAKED)                 /* CLOCK CYCLES */
{
  asm("\n\t"                                   /* 5 ISR entry */
      "push  r24\n\t"                          /* 2 */
      "push  r25\n\t"                          /* 2 */
      "push  r30\n\t"                          /* 2 */
      "push  r31\n\t"                          /* 2 */
      "in    %r[sreg_save], __SREG__\n\t"      /* 1 */
      "\n\t"

      /* read byte from UART */
      "lds   r25, %M[uart_data]\n\t"           /* 2 */

      /* next_tail := (cur_tail + 1) & MASK; */
      "ldi   r24, 1\n\t"                       /* 1 */
      "add   r24, %r[tail]\n\t"                /* 1 */
      "andi  r24, %a[mask]\n\t"                /* 1 */

      /* if next_tail == cur_head */
      "cp    r24, %r[head]\n\t"                /* 1 */
      "breq  L_%=\n\t"                         /* 1/2 */

      /* rb_buf[next_tail] := byte */
      "mov   r30, r24\n\t"                     /* 1 */
      "ldi   r31, 0\n\t"                       /* 1 */
      "subi  r30, lo8(-(rb_buf))\n\t"          /* 1 */
      "sbci  r31, hi8(-(rb_buf))\n\t"          /* 1 */
      "st    Z, r25\n\t"                       /* 2 */

      /* rb_tail := next_tail */
      "mov   %r[tail], r24\n\t"                /* 1 */

      "\n"
"L_%=:\t"
      "out   __SREG__, %r[sreg_save]\n\t"      /* 1 */
      "pop   r31\n\t"                          /* 2 */
      "pop   r30\n\t"                          /* 2 */
      "pop   r25\n\t"                          /* 2 */
      "pop   r24\n\t"                          /* 2 */
      "reti\n\t"                               /* 5 ISR return */
      : /* output operands */
        [tail]      "+r"   (rb_tail)    /* both input+output */
      : /* input operands */
        [uart_data] "M"    (_SFR_MEM_ADDR(UDR0)),
        [mask]      "M"    (RB_MASK),
        [head]      "r"    (rb_head),
        [sreg_save] "r"    (rb_sreg_save)
        /* no clobbers */
      );
}

Reorganizar un poco el código de la memoria intermedia podría reducir la cantidad de código en el ISR que escribe en la memoria intermedia aún más simple (a costa de hacer más compleja la función que lee de la memoria intermedia).

He puesto un ejemplo completo con el sistema de construcción y las estructuras de apoyo en https://github.com/ndim/avr-uart-example/

Answer 4

Alguien tiene que hacer de abogado del diablo aquí, así que supongo que me toca a mí.

El segundo semestre de Cálculo de primer año se dedica universalmente a alimentar a los estudiantes con trucos para la integración que no necesitarán ni retendrán después de su examen final. Esto no sería tan malo si se cumpliera algún otro propósito educativo. A modo de comparación, un estudiante que asiste a una clase de inglés puede no necesitar ni retener ninguna habilidad o conocimiento específico relacionado con la novela White Teeth de Zadie Smith, pero podría decirse que el estudiante está desarrollando habilidades como el pensamiento crítico y la expresión escrita. Lamentablemente, no se puede argumentar lo mismo en el caso de las técnicas de integración. Los alumnos aprenden esta bolsa de trucos como un conjunto de procedimientos de libro de cocina, lo contrario del pensamiento crítico.

El análogo de la habilidad de expresión escrita que se enseña en un curso de inglés sería la facilidad para realizar la integración. Sin embargo, esta analogía falla porque la expresión escrita es una habilidad que sólo puede ser realizada por la mente humana, mientras que los ordenadores pueden ahora llevar a cabo la integración tan bien que el humano que puede superar a Wolfram Alpha en la integración es tan raro como el humano que puede (en un buen día) ganar una partida de ajedrez contra Deep Blue. Dado que los ordenadores no parecen haber alcanzado la creatividad o la autoconciencia, debería ser profundamente desmoralizante para los practicantes de cualquier arte cuando su oficio se informatiza. Demuestra que lo que estaban haciendo podría haberlo hecho mejor un autómata sin sentido. Por esta razón, es poco probable que los humanos de dentro de cien años se interesen mucho por el ajedrez o las técnicas de integración.

En el siglo XIX, los hombres que querían convertirse en oficiales del ejército británico debían demostrar su competencia en griego antiguo. La intención era excluir a la clase trabajadora. Hoy en día, a las personas que quieren ser médicos se les exige que demuestren su competencia en técnicas de integración. La intención es excluir a los estudiantes de la "especialidad impactada" de la biología en la Universidad de California. En defensa de la clase dirigente británica del siglo XIX, podemos observar que traducir el inglés al griego antiguo sigue siendo una habilidad que no puede realizar un ordenador.

Answer 5

Es bueno saber cómo integrar las funciones incluso por esas tres razones:

1. No es necesario encender el ordenador para comprobar cada trivialidad.

2. Puedes comprobar si un programa de caja negra no te está dando gato por liebre.

3. Puedes sorprender a la gente mostrando cómo obtener fórmulas para los volúmenes de los conos, los volúmenes de las botellas, etc.