Definición desmitificadora de la variable aleatoria

Question

La introducción en Variables aleatorias dice que es una variable (en negrita), cuyo valor depende de un azar. IMO, suena como un generador de valores aleatorios, cuyo valor depende de un azar, al igual que la variable aleatoria. Lo que es más inquietante es que definición formal es absolutamente diferente. Dice que la variable aleatoria X es un mapeo, $$X: \Omega \to E$$

Es decir, veo dos problemas en la introducción básica:

1. Por qué insistes en que es una variable si es más bien un generador de valores aleatorios o, formalmente, una función, que no es una variable y no es aleatoria en absoluto y
2. ¿Cómo conciliar dos definiciones de la variable aleatoria: la informal, que muestra la VR como un generador aleatorio, y la formal, que dice sobre el espacio de probabilidad a un mapeo de espacio medible.

Answer 1

Consideremos un ejemplo conocido: Sea $\Omega$ sea el conjunto de todos los resultados del lanzamiento de dos dados: $$ \Omega = \left\{ \begin{array}{cccccc} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{array} \right\} $$ Dejemos que $X: \Omega \to \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ se define por $X=$ la suma de los dos números, de modo que, por ejemplo, si el miembro de $\Omega$ arriba es $53$ entonces $X=5+3=8$ .

Cada subconjunto de $\Omega$ se le asigna una probabilidad asignando a cada subconjunto de un elemento la probabilidad $1/36$ . Así tenemos \begin {align} \Pr (X=5) & = 4/36 \\ \Pr (X=6) & = 5/36 \\ \Pr (X=7) & = 6/36 \\ \Pr (X=8) & = 5/36 \\ \Pr (X=9) & = 4/36 \\ \Pr (X=10) & = 3/36 \\ & \qquad \text etc. \end {align}

La idea es que el "resultado" es un miembro de $\Omega$ elegidos al azar, y el valor de la variable aleatoria está determinado por el resultado. Se puede definir más de una variable aleatoria en el espacio $\Omega$ Por ejemplo, dejemos que $Y:\Omega\to\{1,2,3,4,5,6\}$ sea el máximo de los dos números, por lo que tendríamos \begin {align} \Pr (Y=6) & = 11/36 \\ \Pr (Y=5) & = 9/36 \\ \Pr (Y=4) & = 7/36 \\ & \qquad \text etc. \end {align}

Otro ejemplo sería este:

$\Omega = $ el conjunto de todos los votantes de un estado.

$X(\omega) =$ los ingresos del votante nombrado $\omega$

$Y(\omega) = \begin{cases} 1 & \text{if $\omega$ votes “yes'' in the referendum}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

Si un votante $\omega\in\Omega$ se elige al azar, entonces $X$ y $Y$ son variables aleatorias. Si $E\subseteq\Omega$ es el conjunto de votantes cuyos ingresos son superiores a $\$ 1{,}000{,}000 $ per year, then $\Pr (E) $ is the probability that the chosen voter $\omega$ is in the set $ E $, i.e. that the chosen voter has an income more than $\$1{,}000{,}000$ por año.

Answer 2

Tienes razón, no hay nada aleatorio en la definición.

La cuestión es que se puede pensar en $\Omega$ como "estados del mundo": no se sabe qué va a pasar en el futuro, qué $\omega$ va a "materializarse", por así decirlo.

Así que no sabes qué valores $X$ va a tomar; pero $X$ te da una forma de "traducir" eventos del mundo real (como "los dados saldrán $6$ ) a un objeto más "matemático" (normalmente $\mathbb R$ )

Por supuesto, ya que $\omega$ es "aleatorio", también lo es $X(\omega)$ .

En general, toda función medible es (por definición) una variable aleatoria (también una función como $f(x)=x-2$ si toma $\Omega = \mathbb R$ y el álgebra sigma de Borel habitual) por lo que no hay ninguna diferencia real, simplemente utilizamos este término en la teoría de la probabilidad.

Otro punto es que solemos "olvidarnos" de $\Omega$ . Es decir, decimos algo así como : Que $X$ sea una variable aleatoria normalmente distribuida... No especificamos $\Omega$ no sabemos qué tipo de relación $X$ induce en los elementos de $\Omega$ Así que lo que sucede es que $X$ es básicamente "aleatorio", es lo único aleatorio que hay en nuestro entorno.