Cómo calcular el área entre $y=e^{-x}$, $y=x$ y $x=0$

Question

Mi problema es que poco sentido que viene de la ecuación $$e^{-x} = x$ $ no puedo solucionar eso. ¿Hay otra manera sin saber en ese momento o una manera de calcularlo?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Queremos averiguar cuándo $e^{-x} = x$. Multiplicando por $e^x$ da $$ xe^x = 1 $$ La solución a esta ecuación se define como el $\Omega$-constante, y comparte muchas propiedades interesantes. Así que tenemos $\Omega e^\Omega=1$ o $e^{\Omega} = 1/\Omega$ o $\Omega=e^{-\Omega}$. Varias aproximaciones rápida se puede encontrar en el enlace de arriba. La integral es entonces

\begin{align*} A = \int_0^\Omega x\,\mathrm{d}x + \int_\Omega^\infty e^{-x}\,\mathrm{d}x = e^{-\Omega} + \frac{1}{2}\Omega^2 = \Omega\left( 1+\frac{\Omega}{2}\right)\tag{1} \end{align*}

Donde hemos utilizado que $e^{-\Omega}=\Omega$. Por simplicidad, supongamos que $\Omega \approx \frac{5}{6}\log 2$

$$ Un \approx \frac{25}{72}(\log 2)^2+\frac{1}{2}2^{1/6} $$

Si realmente queremos ser de lujo ahora podemos usar ese $\log 2 \approx \frac 7{10}$$\frac{1}{2}2^{1/6}\approx \frac{1}{2}\left(1+1\cdot\frac{1}{6} \right)$. Donde la última aproximación proviene de $(1+x)^{a} \approx 1 + ax$ donde$|x|\leq 1$$a<1$. Voy a dejar el resto para usted

EDIT: La continuación de la fracción de expansión de $\Omega$ es dado como

$$[0; 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, 306, 1, 5, 1, 2, 1, 5,\ldots]$$

Por lo tanto

$$ \Omega = \frac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\frac{1}{\cdots}}}}}} \aprox 38/67 $$

La inserción de esta en $(1)$ y el uso de $e^{-\Omega}\approx 1/\Omega$ hemos

$$ Un \approx \exp\left(-\frac{38}{67}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{38}{67}\right)^2 $$

Que es correcto acerca de $10$ dígitos. Ahora $e^{-\Omega}=\Omega$ sólo se mantiene para el exacto Omega constante. De lo contrario, se trata de una aproximación. Por lo tanto, un pelín peor versión habría sido

$$ Un \approx \frac{38}{67} + \frac{1}{2}\left(\frac{38}{67}\right)^2 = \frac{3268}{4489} $$

Que sólo es correcto para un puñado dígitos ($3$).