convergencia débil implica fronteridad.

Question

Tengo estos en libros sin pruebas, sobre todo como un corolario. Me preguntaba si podría conseguir una prueba.

Supongamos que $$\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_ng dx = \int_0^1 fg dx$$ for all $g\in L ^ 2 (0,1) $, where $ f_n, \in f L ^ 2 (0,1) $. Then there exists a constant $K$ such that $\|f_n\|_ {L ^ 2} \leq K \lt \infty$ for all $n$.

Answer 1

Banach-Steinhaus nos dice que una familia de funcionales lineales en un espacio de Banach es ilimitada en un denso $G_\delta$ establecer o uniformemente está delimitado en la norma. Puesto que esta familia converge débil tenemos para cualquier $g \in L^2$de % que $\sup_n \langle f_n , g \rangle < \infty$ y por lo tanto la familia de funcionales uniformemente está delimitada en la norma.