Cuando se estudian las fases topológicas protegidas por simetrías, es necesario definir lo que significa un estado de entrelazamiento de corto alcance (SRE). Pero parece haber diferentes definiciones que no son equivalentes entre sí. En http://arxiv.org/abs/1106.4772, Xiao-Gang Wen definió los estados SRE como un estado que puede transformarse en el estado no entrelazado (estado producto directo) a través de una evolución unitaria local. Esto implica en particular que no puede haber fases SPT con simetría trivial, porque los estados con simetría trivial siempre pueden evolucionar unitariamente a un estado producto. Esto contradice aparentemente la notación de SRE de Kitaev. En http://arxiv.org/abs/1008.4138, Kitaev dijo que puede haber fases SPT no triviales para una cadena de Majorana con simetría trivial en 1+1d caracterizada por modos de Majorana en los extremos. Mi pregunta es, ¿cuál es la definición de SRE de Kitaev (no puedo encontrar una referencia donde Kitaev la defina explícitamente) y en qué se diferencia de la definición de Wen? Aparentemente, si un estado es SRE en la definición de Wen, entonces también lo es en la definición de Kitaev.
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Una cita de http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_protected_topological_order:
El orden SPT (tanto para sistemas fermiónicos como bosónicos) tiene las siguientes propiedades definitorias:
- Estados SPT distintos con una simetría dada no pueden deformarse suavemente unos en otros sin una transición de fase, si la deformación preserva la simetría.
- Sin embargo, todos pueden deformarse suavemente en el mismo estado producto trivial sin una transición de fase, si la simetría se rompe durante la deformación.
Lo anterior también define el entrelazamiento de corto alcance (SRE): Un estado SRE es un estado con brecha que puede deformarse suavemente en el estado producto trivial sin una transición de fase (todas las simetrías pueden romperse durante la deformación).
Esta es la definición original dada en arXiv:1004.3835 Transformación unitaria local, entrelazamiento cuántico de largo alcance, renormalización de función de onda y orden topológico Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Xiao-Gang Wen Phys. Rev. B 82, 155138 (2010)
Los estados SRE son triviales. Todos tienen la propiedad de tener un estado base único en cualquier variedad de espacio cerrado. Por lo tanto, el orden SPT es en realidad un orden trivial protegido por simetría (es decir, orden SRE protegido por simetría), en lugar de un orden topológico protegido por simetría. (De hecho, estuve de acuerdo en usar el nombre SPT en arXiv:0903.1069 porque SPT puede representar tanto un orden trivial protegido por simetría como un orden topológico protegido por simetría).
Kitaev luego dio otra definición en una charla Hacia la clasificación topológica de fases con entrelazamiento de corto alcance, 2011. http://online.kitp.ucsb.edu/online/topomat11/kitaev/ : Un estado SRE es un estado con brecha y un estado base único en cualquier variedad de espacio cerrado. No llamamos a ese estado estado SRE, sino que lo llamamos estado con orden topológico invertible (invTO). (ver
arXiv:1405.5858 Categorías de fusión en trenzado, anomalías gravitacionales y el marco matemático para órdenes topológicos en cualquier dimensión Liang Kong, Xiao-Gang Wen,
arXiv:1406.7278 Entrelazamiento de corto alcance y teorías de campo invertibles Daniel S. Freed ).
Kitaev también llama a su versión de SRE localmente definible que puede ser un nombre mejor.
Algunos ejemplos:
- El estado QH bosónico $E_8$ no es SRE. Es LRE con invTO.
- El estado IQH fermiónico $\nu=1$ no es SRE. Es LRE con invTO.
- La cadena superconductora 1D $p+ip$ no es SRE. Es LRE con invTO.
Estos estados no son triviales incluso sin protección de simetría. Por lo tanto, tienen un orden topológico y están entrelazados de largo alcance (LRE). Los estados anteriores son SRE en el sentido de Kitaev, pero LRE en nuestro sentido. Se pueden encontrar muchos más ejemplos en arXiv:1406.7329 Fases topológicas protegidas por simetría fermiónica y cobordismos Anton Kapustin, Ryan Thorngren, Alex Turzillo, Zitao Wang
Sí, este es un problema conocido en la comunidad de la materia condensada. Hay dos definiciones diferentes de estados entrelazados de corto alcance (SRE). La diferencia clave es si el estado topológico protegido por simetría de fermiones (SPT) pertenece al estado SRE. Estrictamente hablando, el estado de fermiones no es SRE, porque la estadística de fermiones es en sí misma un fenómeno de entrelazamiento de largo alcance, por lo que en este sentido, incluso el estado de fermiones libres está topológicamente ordenado y pertenece al estado entrelazado de largo alcance (LRE). Por lo tanto, el estado fermiónico SPT debería considerarse en realidad como un estado topológico enriquecido por simetría (SET). Pero si no insistimos en este orden topológico de fermiones (uno puede pensar en excluir el orden topológico de fermiones), aún podemos atribuir el estado fermiónico SPT al estado SRE, pero siempre debemos tener en cuenta la diferencia entre el SPT de bosones y el SPT de fermiones. En conclusión, en un sentido especial, los estados SRE simétricos = estados SPT de bosones, pero en un sentido general, los estados SRE simétricos = estados SPT de bosones + estados SPT de fermiones.
La afirmación de que "no puede haber fases SPT con simetría trivial" es en un sentido especial, lo que significa que no hay un estado SPT de bosones no trivial con simetría trivial. Pero aún puede haber un estado SPT de fermiones no trivial sin simetría (porque de hecho existe este orden topológico de fermiones que no puede trivializarse), y la cadena 1D de Majorana es un ejemplo de esto. El estado SPT de fermiones sin simetría es solo un estado SRE en un sentido general pero no en un sentido especial, por eso surge la confusión. Pero no hay ninguna contradicción física aquí, es simplemente cuestión de convenciones diferentes.
