GRE problema de álgebra lineal

Question

La siguiente es una pregunta de la muestra GRE Matemáticas Sujeto de Prueba encuentra en el ETS de la página web:

Deje $M$ $5\times 5$ real de la matriz. Exactamente cuatro de las cinco condiciones siguientes en $M$ son equivalentes para cada uno de los otros. Cuál de las cinco condiciones es equivalente a NINGUNA de las otras cuatro?

(A) Para cualesquiera dos vectores columna $u$$v$$M$, el conjunto {$u,v$} es linealmente independiente.

(B) La homogeneidad de sistema de $Mx=0$ tiene sólo la solución trivial.

(C) El sistema de ecuaciones $Mx=b$ tiene una solución única para cada real de a $5\times 1$ vector de columna $b$.

(D) El determinante de a $M$ es distinto de cero.

(E) No existe un $5\times 5$ real de la matriz $N$ tal que $NM$ $5\times 5$ matriz identidad.

Al parecer, la respuesta correcta es la (A), pero no puedo averiguar por qué esto es cierto. Si $M$ es nonsingular, como está implícito en las declaraciones (B)-(E), entonces no se que es equivalente a la columna de vectores de ser linealmente independiente? Y si el 5 vectores columna son independientes, entonces me puede mostrar fácilmente que cada par de vectores son independientes. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

SUGERENCIA$\rm\ \ u,v\ $ independiente lineal independiente$\rm\ \Rightarrow\:\ u + v,\:u+2v,\: u+3v,\:\ldots\: $ independiente

Answer 2

La independencia lineal de$n$ vectores, para$n>2$, no es equivalente a la independencia "pairwise". Tomemos tres vectores diferentes en el plano, por ejemplo.

Answer 3

Suponga que tiene un vector$v$ para el cual es distinto de cero. Entonces$v \not= 2v$ pero$M(2v) = 2M(v)$ y$M(v)$ no son linealmente independientes. Las condiciones BE son todas equivalentes.