Isomorfismo entre grupos de números reales

Question

¿El grupo$\left(\Bbb{R}^*, \cdot\right)$ es isomorfo al grupo$\left(\Bbb{R},+\right)$?

Creo que no están, pero no están seguros de cómo mostrarlo.

¿Cómo definiría$\phi$?

Answer 1

$x^2=y$ No tiene una solución en$\mathbb{R}^\star$ cuando$y=-1$, sin embargo$2x=y$ puede ser resuelto para cada elemento$y\in\mathbb{R}$.

Answer 2

Sugerencia 1: Supongamos $\phi : \left(\Bbb{R},+\right)\to\left(\Bbb{R}^{\times},\cdot\right)$ es un isomorfismo, y considerar la ecuación de $x/2 + x/2 = x$ $\left(\Bbb{R},+\right)$ (que vale para cualquier $x\in\Bbb{R}$). ¿Qué implica esto acerca de la ecuación debajo de la imagen de $\phi$ (puede que todavía se mantienen cuando se $\phi(x) < 0$)?

Sugerencia 2: tal vez un isomorfismo puede ser construido entre el$\left(\Bbb{R}^+,\cdot\right)$$\left(\Bbb{R},+\right)$. Considerar el mapa \begin{align*} \phi:\Bbb{R}&\to\Bbb{R}^+\\ x&\mapsto e^x. \end{align*} Se puede utilizar las propiedades de las exponenciales para mostrar que este es un bijective homomorphism de grupos? (También, tenga en cuenta que si usted muestra $\left(\Bbb{R}^+,\cdot\right)\cong\left(\Bbb{R},+\right)$, luego de haber mostrado $\left(\Bbb{R},+\right)\cong \left(\Bbb{R}^+,\cdot\right)$).

Answer 3

Sugerencia 3: $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ tiene un subgrupo normal no trivial$\{1,-1\}$ (el núcleo del endomorfismo de valor absoluto$\operatorname{abs}$). Cualquier subgrupo no trivial de$(\mathbb{R},+)$ contiene una copia de$(\mathbb{Z},+)$

Formalmente, suponga que$\phi:(\mathbb{R},+)\rightarrow(\mathbb{R}^*,\cdot)$ es un isomorfismo, y establezca$x=\phi^{-1}(-1)$. Entonces $$ (\ operatorname {abs} \ circ \ phi) (x x) = 1 \ cdot1 = 1 $$ de ahí $$ x x \ in \ {0, x \} = \ phi ^ {- 1} \ {1, -1 \} $$ una contradicción