Después de haber trabajado en la determinación y seguido de cerca la labor de Woodin, Acero, y otros en la zona, creo que entiendo lo que se entiende por la declaración. Pero es impreciso. Creo que tal vez el orador estaba siendo más bien informal. Me deja modificar la sentencia en dos aspectos cruciales:
En primer lugar, quizás $\mathsf{AD}$ fue mencionada por $\mathsf{AD}^+$ es más técnico y difícil de estado en una charla, pero cualquier declaración de ese tipo se han hecho sobre el $\mathsf{AD}^+$ en lugar de $\mathsf{AD}$ sí.
Tal vez la instrucción no se refería a la teoría de que el universo de los conjuntos en $\mathsf{ZF}+\mathsf{AD}$, sino más bien acerca de su interior modelo $L({\mathbb R})$. O tal vez un determinado interior modelo (en particular) satisface $V=L({\mathcal P}({\mathbb R}))$.
Permítanme explicar esto un poco. $\mathsf{AD}$ es una muy poderosa teoría. Si se sostiene, a continuación, se relativiza abajo a $L({\mathbb R})$, y por otra parte, si la elección tiene y no son lo suficientemente grandes cardenales en el universo, entonces de nuevo se mantiene en $L({\mathbb R})$. Por esta razón, se entiende que $L({\mathbb R})$ es un modelo natural para el estudio de la determinación, pero es un "mínimo" de modelo, lejos de ser el único razonable modelo. Después de todo, las fuertes versiones de la determinación como $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ realmente fallar en $L({\mathbb R})$, mientras que se puede sostener en los modelos más grandes. [El estudio de estos modelos está estrechamente vinculada al interior del modelo del programa, así que no es solo por curiosidad. Ver este MO pregunta, y Grigor Sargsyan's papel "Descriptivo interior del modelo de la teoría" para más detalles.]
$L({\mathbb R})$ viene equipado con una rica estructura fina. Cuando la determinación se sostiene en $L({\mathbb R})$, la combinación de su riqueza combinatoria y teoría de la estructura fina de el modelo nos permite probar varias consecuencias que no sabemos cómo derivar en general a partir de sólo $\mathsf{AD}$. Es decir, podemos demostrar que en esa situación, $\mathsf{AD}^+$ mantiene en $L({\mathbb R})$.
$\mathsf{AD}^{+}$ es un fortalecimiento de la $\mathsf{AD}$ introducido por Woodin, y se entiende como el "derecho" de la versión para trabajar con cuando nos fijamos no sólo en $L({\mathbb R})$ pero, más en general, en los modelos de la forma $L({\mathcal P}({\mathbb R}))$. En estos modelos, $\mathsf{AD}^+$ nos permite demostrar que gran parte de la teoría de la estructura que sabemos que tiene en $L({\mathbb R})$. Sólo asumiendo $\mathsf{AD}$ no parece suficiente para ello. En realidad, es abierta si $\mathsf{AD}$ implica $\mathsf{AD}^+$ en abstracto. Mientras que esto está resuelto, cualquier cuestión que no esté específicamente acerca de los conjuntos de "baja" en el definability jerarquía se aborda en la $\mathsf{AD}^+$. ("Bajo" conjuntos tenemos que la determinación implica la agradable teorema de codificación que nos dice que la solución de la cuestión en $L({\mathbb R})$ implica su solución en todos los modelos más grandes de la determinación.) $\mathsf{AD}^+$ también lleva a cabo esta estructura a otros "natural" de los modelos de forma más complicada.
Todas estas advertencias son necesarias:
Si sólo suponemos $\mathsf{AD}$ en lugar de $\mathsf{AD}^+$ natural de preguntas que no sabemos cómo resolver. Tal vez ellos son independientes. A menos que estemos trabajando en $L({\mathbb R})$, pero luego en realidad tenemos $\mathsf{AD}^+$ a nuestra disposición de todos modos.
$\mathsf{AD}^+$ es una teoría acerca de reales y conjuntos de reales. Podemos obligando a modificar el universo a un nivel suficientemente alto cardenal $\kappa$ en muchas maneras en que no va a afectar a ${\mathcal P}({\mathbb R})$, lo $\mathsf{AD}^+$ se conserva, y, sin embargo, podemos cambiar la combinatoria en $\kappa$ en aspectos cruciales. Por lo $\mathsf{AD}^+$ no es suficiente para tener una "completa" de la teoría. A menos que trabajemos en un $L({\mathcal P}({\mathbb R}))$ modelo, para empezar.
De todos modos, aún asumiendo $\mathsf{AD}^+$, no son naturales combinatoria preguntas que no son resueltos en estos modelos, las preguntas acerca de la estructura de $\omega_1^\omega$, por ejemplo. Pero en $L({\mathbb R})$ ninguno de estos problemas están presentes.
Así que, en resumen, creo que el orador estaba hablando acerca de la teoría de la $L({\mathbb R})$. En ese caso, es cierto que cualquier pregunta nos encontramos con que parece tener una respuesta definitiva, bajo el supuesto de $\mathsf{AD}^+$ (o, en este caso al ser el mismo, $\mathsf{AD}$). Sin embargo, siempre hay dos excepciones a una declaración como esta. Tal vez ayuda a pensar en una analogía que se entiende mejor:
En $L$, parece ser capaz de resolver casi cualquier combinatoria pregunta que nos hacemos. Gödel demostró que la elección tiene en $L$, por lo que suponemos $\mathsf{ZFC}$ a empezar. (Por supuesto, sólo tenemos que asumir $\mathsf{ZF}$, pero eso es tonto. Del mismo modo, asumimos $\mathsf{AD}^+$ $L({\mathbb R})$ a pesar de que siempre se puede empezar sólo con $\mathsf{AD}$, citar tres o cuatro papeles por lo que realmente conseguir a $\mathsf{AD}^+$, y a continuación ve a hacer lo que queremos.)
Pero esta puramente en la observación empírica de que la teoría de la $L$ "completa" en $\mathsf{ZFC}$ obviamente debe ser completo, porque cosas como "hay exactamente 3 débilmente compacto de cardenales" no son resueltos por la teoría. Así, podemos calificar la integridad diciendo "módulo grandes cardenales" o, suponiendo que todas las posibles grandes cardenales que puede ser en $L$ están realmente presentes. (Esencialmente, cualquier gran cardenal consecuencia compatible con $V=L$ de la existencia de $0^\sharp$.)
Pero esto no es suficiente, porque podemos jugar con arithmetization y obtener Gödel - o Rosser-como frases que son independientes. Seguro. Pero esto no es lo que queremos decir cuando hablamos de "combinatoria declaraciones".
Para el común de la cosa a decir es que,
bajo grandes cardenales, modulo Gödel frases, es una evidencia empírica de que la teoría de la $L$ está completamente resuelto.
Lo que queremos decir es que tenemos confianza, basada en años de experiencia, que cualquier combinatoria pregunta que nos podemos resolver en $L$, mientras que nosotros tenemos como muchos de los grandes cardenales en $L$ según sea necesario.
Como comúnmente, esperamos que asumiendo un fuerte obligando axioma como $\mathsf{MM}$ (Martin máximo) tendrá un efecto similar, siempre y cuando el problema combinatorio está pidiendo es acerca de $\mathsf{ORD}^{\omega_1}$. Así, la práctica común es que cuando se enfrenta a un difícil problema combinatorio para ver primero cómo va bajo el supuesto de $V=L$, y bajo la hipótesis de $\mathsf{MM}$. (Las respuestas pueden ser muy diferentes.)
Lo que tenemos con la determinación es, precisamente, el mismo fenómeno: se trata de un dato empírico que cualquier combinatoria pregunta puede ser resuelta en $L({\mathbb R})$ suponiendo que la determinación, y tan rica, un gran cardenal de estructura según sea necesario (esencialmente, cualquier gran cardenal de la estructura en $L({\mathbb R})$ por la suposición de que ${\mathbb R}^\sharp$ existe en $V$).
De nuevo, este es un dato empírico, es decir, es lo que hemos observado en la práctica, pero no es un teorema. Esperamos que ante una cuestión que no se trata de un Gödel - o Rosser-como truco, debemos ser capaces de resolverlo en $L({\mathbb R})$ si la determinación se mantiene.
Así que lo que el orador dijo que es una débil declaración ("la práctica parece indicar que este sea el caso") que pueden ser falsificados en cualquier momento. Pero hacer eso sería muy interesante y, la verdad, actualmente fuera de nuestro alcance: la Producción de una declaración de que $V=L$ no se asiente incluso bajo grandes cardenales requeriría un completamente nuevo método de obtención de resultados independientes. No sabemos de nada de eso. Ver también aquí.
En el caso de $L({\mathbb R})$, necesitaríamos una declaración de que es compatible con la existencia de grandes cardenales en $V$, y aún independiente. Esto requeriría un método para cambiar la teoría de la $L({\mathbb R})$. Por supuesto, podemos cambiar el modelo, mediante la adición de reales, pero en virtud de los grandes cardenales, obligando puede cambiar esta teoría así que, de nuevo, se necesitaría una completamente nueva técnica.
(Hay un a priori una forma de saber si una combinatoria pregunta es, realmente, la combinatoria o un Gödel-como la declaración hábilmente disfrazada? Si no, entonces el altavoz de la declaración es, por supuesto, aún más débil todavía. Harvey Friedman's de trabajo es mucho más que un intento de mostrar que no puede haber tal manera, que los faltantes se esconde en todas las combinatorias de configuración).
