Dada una curva, ¿cómo construyes intuitivamente la imagen de su dual proyectivo? Yo sé puntos -> líneas, líneas -> puntos, pero para algo como el swallowtail esto no es realmente obvio.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Respuesta editado, en respuesta a la observación y un segundo aire para explicar las matemáticas:
Deje $F(x_0,x_1,x_2)=0$ ser la ecuación de la curva, y tome $(y_0,y_1,y_2)$ a las coordenadas en la $(\mathbb{P}^2)^*$. Supongamos también que el $F$ es irreductible y no tiene factores lineales.
A continuación, $y_0 x_0+y_1 x_1+y_2 x_2=0$ es la ecuación de una línea general en $\mathbb{P}^2$ (recordemos, aquí $y_0,y_1,y_2$ son fijos, y el $x_i$ son las coordenadas en el plano) y nos fijamos en el conjunto abierto de $(\mathbb{P}^2)^*$ donde $y_2\neq 0$. En este conjunto abierto, podemos resolver la ecuación de la línea de $x_2$, y ver el $g(x_0,x_1)=y_2^n F(x_0,x_1,-\frac{1}{y_2}(y_0x_0+y_1x_1))$, un polinomio homogéneo de grado $n$ $x_0,x_1$ con coeficientes de polinomios homogéneos en el $y_i$. Este polinomio tiene ceros en las intersecciones de nuestra curva de $C$ con la línea de $L$ estamos mirando.
Así queremos encontrar puntos de la multiplicidad, al menos, dos. Entonces, ¿cómo podemos encontrar múltiples raíces de un polinomio? Tomamos el discriminante! Específicamente, nosotros lo hacemos por un affinization, y obtenemos un polinomio homogéneo de grado $2n^2-n$$y_i$.
Todo lo que queda es factor del polinomio, y matar a todos los lineales de los factores, simplemente tirarlos a la basura, las razones que se explican en más computacional detalle en mi blogpost, y allí también se hacen explícitos los ejemplos, pero el método para calcular la ecuación de la doble curva es como el anterior.
