Deje$x,y$ en un grupo G con orden desigual. Dejar $x^2=y^2$. Muestra esa $x=y$.

Question

Deje$x,y$ en un grupo G con orden desigual. Dejar $x^2=y^2$. Muestra esa $x=y$.

Bien, ¿cómo puedo demostrar esto? Si$G$ es unenven order, entonces no hay elementos de order$2$. Así que$x^2=y^2=e$ sólo si$x=e$.

¿Pero qué pasa si el orden de$x,y ≥3$? Alguien me dijo que puedo probar que$x\mapsto x^2$ es una bijeción si$x$ tiene orden desigual. ¿Cómo puedo ver esto?

Answer 1

Otra sugerencia puede ser:$$x^1=x^{2m+|G|n}=y^{2m+|G|n}=y^1$$ for some integers $ m$ and $ n $.

Answer 2

El orden del grupo$G$ es impar, por lo que se puede escribir como$2n + 1$ para algunos$n$.

Dado que el orden de cualquier elemento divide el orden del grupo, tiene$1 = x^{2n + 1} = y^{2n + 1}$. También tiene$x^{2n} = y^{2n}$ desde$x^2 = y^2$. Dado que$x^{2n}x = y^{2n}y$, esto significa que$x$ y$y$ tienen la misma inversa, que a su vez significa$x = y$. (O simplemente multiplicar a través de$x^{-2n} = y^{-2n}$).

Answer 3

Sugerencia: Dado que$\left| G\right|$ es impar, 2 es invertible modulo$\left| G\right|$.

Answer 4

Sugerencia $\rm\ \ \ \color{#C00}{X^J\!=Y^J},\, \ \color{#0A0}{X^K\! = Y^K}\Rightarrow\ X^{(J,K)}\! = Y^{(J,K)},\ $ donde $\rm\:(J,K)\:$ denota $\rm\:gcd(J,K).$

Prueba de $\ $ Por Bezout del mcd identidad $\rm\ (J,K)\, =\, mJ\!-\!nK\ $ algunos $\rm\ m,n\in\Bbb Z.\:$ por lo Tanto

$$\rm X^{(J,K)} = X^{mJ-nK}\! = (\color{#C00}{X^J})^m (\color{#0A0}{X^K})^{-n} = (\color{#C00}{Y^J})^m (\color{#0A0}{Y^K})^{-n} = Y^{mJ-nK}\! = Y^{(J,K)}\quad {\bf QED}$$

Comentario $\ $ Tuyo es el caso especial $\rm\:J = 2^n,\:$ $\rm\,K\,$ impar (= orden del grupo), $ $ por lo que el mcd $\rm\:(J,K) = 1.$

O, más conceptualmente, el conjunto de exponentes $\rm\:n\:$ tal que $\rm\:X^n\! = Y^n$ son cerrados bajo la resta tan cerrado bajo mcd, ya que ellos forman un subgrupo/ideal de $\rm\,\Bbb Z,\,$ que es necesariamente cíclico/director, generado por el mcd de todos sus elementos.

Answer 5

Deje$a^2=b^2$ y$|G|=2k+1$ entonces:

ps